2. Analizar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justificar adecuadamente. \( \begin{array}{ll}\text { a) } \exists x \in \mathbb{R} / x^{2}+x+1=0 & \text { b) } \exists x \in \mathbb{R} / x^{2}+1>0 \\ \text { c) } \exists x \in \mathbb{R} / x=-x & \text { d) } \forall x \in \mathbb{R}: \exists x^{-1} \in \mathbb{R} / x \cdot x^{-1}=1 \\ \text { e) } \forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R} / x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2} & \text { f) } \exists x \in \mathbb{R} / \forall y \in \mathbb{R}: x+y=0\end{array} \)

Para analizar la veracidad o falsedad de las proposiciones, consideremos cada una: a) FALSO. La ecuación \(x^{2}+x+1=0\) no tiene soluciones reales, ya que el discriminante \(b^2-4ac\) es negativo: \(1-4(1)(1) = 1-4=-3 < 0\). b) VERDADERO. Para cualquier \(x \in \mathbb{R}\), \(x^{2}+1\) siempre será mayor que 0, dado que \(x^{2} \geq 0\) para todos los números reales, lo que implica que \(x^{2}+1 > 0\). c) VERDADERO. La ecuación \(x = -x\) implica que \(2x = 0\), entonces \(x = 0\) es la única solución que satisface esta proposición. d) FALSO. No existe un inverso multiplicativo en \(\mathbb{R}\) para \(x = 0\), ya que no se cumple que \(0 \cdot x^{-1} = 1\) para ningún \(x^{-1}\). e) VERDADERO. Para cualquier \(x\), se puede elegir \(y=0\) para satisfacer la igualdad \(x^{2}+0^{2}=(x+0)^{2}\) ya que resulta en \(x^{2}=x^{2}\). f) FALSO. No se puede encontrar un único \(x\) que sume con cualquier \(y\) real a cero, ya que para cada \(y\) hay un \(x = -y\), lo que implica que \(x\) no es único.