207. L'ampiezza di ciascuno degli angoli adiacenti alla base di un trapezio isoscele è \( 45^{\circ} \). Sapendo che l'altezza del trapezio misura 10 m e l'area è \( 120 \mathrm{~m}^{2} \), calcola la misura di ciascuna base e il perimetro del trapezio. [ \( 22 \mathrm{~m} ; 2 \mathrm{~m} ; 52,2 \mathrm{~m} \) ]

Sia \( a \) la base minore, \( b \) la base maggiore e \( h=10 \) m l’altezza del trapezio. 1. Nei trapezi isosceli con angoli alla base di \( 45^\circ \), la proiezione orizzontale di ciascun lato obliquo è pari all’altezza. Quindi la differenza tra le due basi è \[ b = a + 2 \cdot 10 = a + 20. \] 2. L’area \( A \) del trapezio è data da \[ A = \frac{(a+b)}{2} \cdot h. \] Inserendo i valori noti, si ha: \[ 120 = \frac{(a + (a+20))}{2} \cdot 10 = \frac{2a+20}{2} \cdot 10 = (a+10) \cdot 10. \] 3. Dividendo entrambi i membri per 10: \[ a+10 = 12 \quad \Rightarrow \quad a = 2. \] 4. Calcoliamo \( b \): \[ b = a+20 = 2+20 = 22. \] 5. Per il lato obliquo \( l \) (lato non parallelo), consideriamo il triangolo rettangolo formato dall’altezza e dalla proiezione orizzontale: - Altezza: \( 10 \) m. - Proiezione orizzontale: \( 10 \) m (poiché \(\tan 45^\circ = 1\)), dunque \[ l = \sqrt{10^2+10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}. \] 6. Infine, il perimetro \( P \) del trapezio è \[ P = a + b + 2l = 2 + 22 + 2\cdot 10\sqrt{2} = 24 + 20\sqrt{2}. \] Approssimando \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), \[ 20\sqrt{2} \approx 28.28, \] dunque \[ P \approx 24 + 28.28 \approx 52.28 \, \text{m}. \] Le risposte sono quindi: - Base minore: \( 2 \) m - Base maggiore: \( 22 \) m - Perimetro: circa \( 52.2 \) m.