Calcular la suma do las raíces de la ecuación: \[ \frac{18^{5 x^{2}-3 x+2}}{6^{x+3}}=3^{x+3} \]

Vamos a resolver la ecuación   (18^(5x² – 3x + 2))⁄(6^(x + 3)) = 3^(x + 3) y determinar la suma de sus raíces. Paso 1. Escribamos las bases 18 y 6 en términos de sus factores primos.   18 = 2 · 3²  y  6 = 2 · 3 Entonces:   18^(5x²–3x+2) = (2 · 3²)^(5x²–3x+2) = 2^(5x²–3x+2) · 3^(2(5x²–3x+2)) = 2^(5x²–3x+2) · 3^(10x²–6x+4)   6^(x+3) = (2 · 3)^(x+3) = 2^(x+3) · 3^(x+3) La ecuación se transforma en:   [2^(5x²–3x+2) · 3^(10x²–6x+4)]⁄[2^(x+3) · 3^(x+3)] = 3^(x+3) Separando los factores:   2^(5x²–3x+2 – (x+3)) · 3^(10x²–6x+4 – (x+3)) = 3^(x+3) Simplifiquemos los exponentes: Para la base 2:   5x² – 3x + 2 – x – 3 = 5x² – 4x – 1 Para la base 3:   10x² – 6x + 4 – x – 3 = 10x² – 7x + 1 Entonces la ecuación queda:   2^(5x² – 4x – 1) · 3^(10x² – 7x + 1) = 3^(x+3) Paso 2. Dividamos ambos lados de la ecuación por 3^(10x² – 7x + 1) para dejar la potencia de 3 despejada:   2^(5x²–4x–1) = 3^(x+3 – (10x²–7x+1)) Calculamos el exponente de 3:   x + 3 – (10x² – 7x + 1) = –10x² + 8x + 2 Así, la ecuación es:   2^(5x² – 4x – 1) = 3^(–10x² + 8x + 2) Paso 3. Tomamos logaritmo natural (ln) en ambos lados:   ln[2^(5x² – 4x – 1)] = ln[3^(–10x² + 8x + 2)] Utilizando la propiedad ln(a^b) = b ln a, obtenemos:   (5x² – 4x – 1) ln 2 = (–10x² + 8x + 2) ln 3 Paso 4. Agrupamos todos los términos en un solo lado:   (5x² – 4x – 1) ln 2 + (10x² – 8x – 2) ln 3 = 0 Podemos reagrupar coeficientes de forma que se factorizan expresiones comunes. Notamos que:   5 ln 2 + 10 ln 3 = 5(ln 2 + 2 ln 3)   –4 ln 2 – 8 ln 3 = –4(ln 2 + 2 ln 3)   – ln 2 – 2 ln 3 = – (ln 2 + 2 ln 3) Definamos K = ln 2 + 2 ln 3 (recordando que ln 2 + 2 ln 3 ≠ 0). Entonces la ecuación se puede escribir como:   K (5x² – 4x – 1) = 0 Como K ≠ 0, debemos tener:   5x² – 4x – 1 = 0 Paso 5. Resolvamos la ecuación cuadrática 5x² – 4x – 1 = 0. Calculamos el discriminante (Δ):   Δ = (–4)² – 4·5·(–1) = 16 + 20 = 36 Entonces, las raíces son:   x = [4 ± √36]⁄(2·5) = (4 ± 6)⁄10 Obtenemos dos soluciones:   x₁ = (4 + 6)/10 = 10/10 = 1   x₂ = (4 – 6)/10 = (–2)/10 = –0.2 La suma de las raíces, según la fórmula para ecuaciones cuadráticas (suma = –b/a), es:   x₁ + x₂ = –(–4)/5 = 4/5 O, comprobándolo directamente:   1 + (–0.2) = 0.8 = 4/5 Respuesta final: La suma de las raíces es 4/5.