Calcular la suma do las raíces de la ecuación: \[ \frac{18^{5 x^{2}-3 x+2}}{6^{x+3}}=3^{x+3} \]

Para resolver la ecuación \(\frac{18^{5 x^{2}-3 x+2}}{6^{x+3}}=3^{x+3}\), comenzamos escribiendo \(18\) y \(6\) en términos de potencias de \(3\): \[ 18 = 2 \cdot 3^2 \quad \text{y} \quad 6 = 2 \cdot 3. \] De este modo, podemos reescribir la ecuación. La expresión \(18^{5x^2 - 3x + 2}\) se convierte en \((2 \cdot 3^2)^{5x^2 - 3x + 2} = 2^{5x^2 - 3x + 2} \cdot 3^{2(5x^2 - 3x + 2)}\), y \(6^{x + 3}\) es \( (2 \cdot 3)^{x + 3} = 2^{x + 3} \cdot 3^{x + 3}\). Sustituyendo en la ecuación: \[ \frac{2^{5x^2 - 3x + 2} \cdot 3^{2(5x^2 - 3x + 2)}}{2^{x + 3} \cdot 3^{x + 3}} = 3^{x + 3}. \] Al simplificar: \[ 2^{5x^2 - 3x + 2 - (x + 3)} \cdot 3^{2(5x^2 - 3x + 2) - (x + 3)} = 3^{x + 3}. \] Restando expoentes de \(2\) y de \(3\): \[ 2^{5x^2 - 4x - 1} \cdot 3^{10x^2 - 6x + 4 - x - 3} = 3^{x + 3}. \] Simplificando la parte de \(3\): \[ 3^{10x^2 - 7x + 1} = 3^{x + 3}. \] Igualando los exponentes de \(3\): \[ 10x^2 - 7x + 1 = x + 3. \] Convirtiéndolo en una ecuación cuadrática: \[ 10x^2 - 8x - 2 = 0. \] Utilizando la fórmula cuadrática \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): 1. Encontramos \(a = 10\), \(b = -8\), y \(c = -2\), por lo que \(b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-2) = 64 + 80 = 144\). 2. Entonces, \(x = \frac{8 \pm 12}{20}\). Esto nos da dos valores: \[ x_1 = \frac{20}{20} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}. \] Finalmente, la suma de las raíces \(x_1 + x_2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\). Por lo tanto, la suma de las raíces es: \[ \boxed{\frac{4}{5}}. \]