2. Un auto que viaja a $$ 120 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$ constante pasa junto a un agente de tránsito estacionado en una motocicleta, sl el motociclista tarda 5 segundos en arrancar y lo hace con aceleracion uniforme de $$ 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $$, ¿wándo y dónde la motocicleta alcanza al auto?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Sea $$ t=0 $$ el instante en el que el auto pasa estacionado el agente. El auto se mueve a velocidad constante $$ v_a = 120 \,\mathrm{km/h} $$. Primero convertimos a unidades SI:

$$
120 \,\mathrm{km/h}=\frac{120\,000\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}}\approx 33.33\,\mathrm{m/s}.
$$

La posición del auto en función del tiempo es

$$
x_a(t)=33.33\,t.
$$

El motociclista, que tarda 5 segundos en arrancar, permanece en reposo durante ese intervalo. Luego, a partir de $$ t=5\,\mathrm{s} $$ arranca con aceleración uniforme $$ a=4\,\mathrm{m/s^2} $$. Si definimos $$ \tau=t-5 $$ como el tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento de la motocicleta, su posición (para $$ t\ge5\,\mathrm{s} $$) es:

$$
x_m(t)=\frac{1}{2}\,a\,(t-5)^2=2\,(t-5)^2.
$$

Para determinar el instante en que la motocicleta alcanza al auto, igualamos las posiciones:

$$
2\,(t-5)^2=33.33\,t.
$$

Desarrollamos la ecuación:

$$
2(t^2-10t+25)=33.33\,t \quad\Rightarrow\quad 2t^2-20t+50=33.33\,t.
$$

Reorganizando:

$$
2t^2-20t-33.33\,t+50=0\quad\Rightarrow\quad 2t^2-53.33\,t+50=0.
$$

Esta es una ecuación cuadrática en $$ t $$. Usamos la fórmula general:

$$
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
$$
con $$ a=2 $$, $$ b=-53.33 $$ y $$ c=50 $$. Entonces:

$$
t=\frac{53.33\pm\sqrt{53.33^2-4\cdot2\cdot50}}{4}.
$$

Calculamos el discriminante:

$$
\Delta=53.33^2-400\approx 2844.49-400=2444.49.
$$

La raíz del discriminante es aproximadamente:

$$
\sqrt{2444.49}\approx 49.44.
$$

Obtenemos las dos soluciones:

$$
t_1=\frac{53.33+49.44}{4}\approx\frac{102.77}{4}\approx25.69\,\mathrm{s},
$$
$$
t_2=\frac{53.33-49.44}{4}\approx\frac{3.89}{4}\approx0.97\,\mathrm{s}.
$$

La solución $$ t_2\approx0.97\,\mathrm{s} $$ no es compatible con la condición $$ t\ge 5\,\mathrm{s} $$ (ya que el motociclista no se movía durante los primeros 5 segundos). Por ello, la solución válida es:

$$
t\approx25.69\,\mathrm{s}.
$$

Para encontrar el lugar donde se alcanza al auto, sustituimos $$ t $$ en la ecuación de posición del auto:

$$
x_a=33.33\times25.69\approx856\,\mathrm{m}.
$$

Por lo tanto, la motocicleta alcanza al auto aproximadamente a los $$ 25.7\,\mathrm{s} $$ y a una distancia de $$ 856\,\mathrm{m} $$ del punto inicial.
La motocicleta alcanza al auto aproximadamente a los 25.7 segundos y a una distancia de 856 metros del punto inicial.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Physics Questions