2. Un auto que viaja a \( 120 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) constante pasa junto a un agente de tránsito estacionado en una motocicleta, sl el motociclista tarda 5 segundos en arrancar y lo hace con aceleracion uniforme de \( 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \), ¿wándo y dónde la motocicleta alcanza al auto?

Sea \( t=0 \) el instante en el que el auto pasa estacionado el agente. El auto se mueve a velocidad constante \( v_a = 120 \,\mathrm{km/h} \). Primero convertimos a unidades SI: \[ 120 \,\mathrm{km/h}=\frac{120\,000\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}}\approx 33.33\,\mathrm{m/s}. \] La posición del auto en función del tiempo es \[ x_a(t)=33.33\,t. \] El motociclista, que tarda 5 segundos en arrancar, permanece en reposo durante ese intervalo. Luego, a partir de \( t=5\,\mathrm{s} \) arranca con aceleración uniforme \( a=4\,\mathrm{m/s^2} \). Si definimos \( \tau=t-5 \) como el tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento de la motocicleta, su posición (para \( t\ge5\,\mathrm{s} \)) es: \[ x_m(t)=\frac{1}{2}\,a\,(t-5)^2=2\,(t-5)^2. \] Para determinar el instante en que la motocicleta alcanza al auto, igualamos las posiciones: \[ 2\,(t-5)^2=33.33\,t. \] Desarrollamos la ecuación: \[ 2(t^2-10t+25)=33.33\,t \quad\Rightarrow\quad 2t^2-20t+50=33.33\,t. \] Reorganizando: \[ 2t^2-20t-33.33\,t+50=0\quad\Rightarrow\quad 2t^2-53.33\,t+50=0. \] Esta es una ecuación cuadrática en \( t \). Usamos la fórmula general: \[ t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \] con \( a=2 \), \( b=-53.33 \) y \( c=50 \). Entonces: \[ t=\frac{53.33\pm\sqrt{53.33^2-4\cdot2\cdot50}}{4}. \] Calculamos el discriminante: \[ \Delta=53.33^2-400\approx 2844.49-400=2444.49. \] La raíz del discriminante es aproximadamente: \[ \sqrt{2444.49}\approx 49.44. \] Obtenemos las dos soluciones: \[ t_1=\frac{53.33+49.44}{4}\approx\frac{102.77}{4}\approx25.69\,\mathrm{s}, \] \[ t_2=\frac{53.33-49.44}{4}\approx\frac{3.89}{4}\approx0.97\,\mathrm{s}. \] La solución \( t_2\approx0.97\,\mathrm{s} \) no es compatible con la condición \( t\ge 5\,\mathrm{s} \) (ya que el motociclista no se movía durante los primeros 5 segundos). Por ello, la solución válida es: \[ t\approx25.69\,\mathrm{s}. \] Para encontrar el lugar donde se alcanza al auto, sustituimos \( t \) en la ecuación de posición del auto: \[ x_a=33.33\times25.69\approx856\,\mathrm{m}. \] Por lo tanto, la motocicleta alcanza al auto aproximadamente a los \( 25.7\,\mathrm{s} \) y a una distancia de \( 856\,\mathrm{m} \) del punto inicial.