окажите равенство: \( \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} \cos \frac{5 \pi}{7}=\frac{1}{8} \)

Обозначим \[ x=\frac{\pi}{7}. \] Тогда исходное равенство принимает вид \[ \cos x \, \cos 4x \, \cos 5x=\frac{1}{8}. \] Заметим, что используя соотношение \[ \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta, \] получаем \[ \cos 4x=\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{7}\right)=-\cos\frac{3\pi}{7},\quad \cos 5x=\cos\left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right)=-\cos\frac{2\pi}{7}. \] Таким образом, \[ \cos x\,\cos 4x\,\cos 5x = \cos x\Bigl[ -\cos\frac{3\pi}{7}\Bigr] \Bigl[-\cos\frac{2\pi}{7}\Bigr]= \cos x\,\cos\frac{2\pi}{7}\,\cos\frac{3\pi}{7}, \] или в обозначениях \[ \cos x\,\cos 2x\,\cos 3x. \] Найдём этот тройной произведение с помощью преобразования произведения в сумму. Начнём с преобразования произведения двух косинусов: \[ \cos2x\,\cos3x=\frac{1}{2} \Bigl[\cos(2x+3x)+\cos(2x-3x)\Bigr]=\frac{1}{2}\Bigl[\cos5x+\cos x\Bigr]. \] Умножим это на \(\cos x\): \[ \cos x\,\cos2x\,\cos3x=\frac{1}{2}\Bigl[\cos x\,\cos5x+\cos^2x\Bigr]. \] Применим снова формулу для произведения косинусов для первого слагаемого: \[ \cos x\,\cos5x=\frac{1}{2}\Bigl[\cos(6x)+\cos(4x)\Bigr]. \] А для второго слагаемого запишем: \[ \cos^2x=\frac{1}{2}\Bigl[1+\cos2x\Bigr]. \] Подставляя, получаем: \[ \cos x\,\cos2x\,\cos3x=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\Bigl(\cos6x+\cos4x\Bigr)+\frac{1}{2}\Bigl(1+\cos2x\Bigr)\right]. \] Упростим: \[ \cos x\,\cos2x\,\cos3x=\frac{1}{4}\Bigl[1+\cos2x+\cos4x+\cos6x\Bigr]. \] Теперь подставим \(x=\frac{\pi}{7}\): \[ \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}=\frac{1}{4}\Bigl[1+\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\Bigr]. \] Остаётся найти сумму \[ S=1+\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}. \] Известно (это можно доказать, используя свойства корней единицы), что \[ \cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}. \] Таким образом, \[ S=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \] Подставляем обратно: \[ \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}. \] Таким образом, исходное равенство доказано: \[ \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{4 \pi}{7}\cos \frac{5 \pi}{7} = \frac{1}{8}. \]