110. El segmento que une \( A(-1,2) \) con \( B(2,-5) \) se prolonga hasta \( C(x, y) \) sabiendo que \( A C=3 A B \), Halle las coordenadas de \( C \). \( \begin{array}{lll}\text { A) }(3,-15) & \text { B) }(4,-16) & \text { C) }(6,-17) \\ \text { D) }(7,-18) & \text { E) }(8,-19) & \end{array} \)

Para resolver el problema, primero encontraremos las coordenadas de \( C \) teniendo en cuenta que \( AC = 3 AB \). Primero calculamos la distancia entre los puntos \( A(-1, 2) \) y \( B(2, -5) \): \[ AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \] Ahora, calculamos la distancia \( AC \): \[ AC = 3 \cdot AB = 3 \cdot \sqrt{58} \] Ahora, usando el vector \( \overrightarrow{AB} \) que es dado por \( (2 - (-1), -5 - 2) = (3, -7) \), podemos encontrar el punto \( C \) prolongando el segmento \( AB \): Al prolongar el segmento, lo haremos sumar el vector \( \overrightarrow{AB} \) multiplicado por 3. Finalmente, las coordenadas del punto \( C \) están dadas por: \[ C = B + 3 \cdot \overrightarrow{AB} = (2, -5) + 3 \cdot (3, -7) = (2 + 9, -5 - 21) = (11, -26) \] Sin embargo, el problema original menciona que \( C \) se encuentra en la prolongación 3 veces, así que debemos considerar que el punto \( C \) puede ser: \[ C' = A + 3 \cdot \overrightarrow{AB} = (-1, 2) + 3 \cdot (3, -7) = (-1 + 9, 2 - 21) = (8, -19) \] Por lo tanto, las coordenadas de \( C \) son \( (8, -19) \). La respuesta correcta es la opción E: \( (8, -19) \).