\begin{tabular}{l} Dado el campo vectorial \\ \( \vec{F}=(2 y-z) \boldsymbol{i}+(3 x+1) \boldsymbol{j}+(x y) \boldsymbol{k} \) \\ ¿cuál es el rotacional \( \nabla \times F \) ? \\ \hline\( O(x) \mathbf{i}-(y+1) \mathbf{j}+(1) \mathbf{k} \) \\ \( O(2 y) \mathbf{i}-(3) \mathbf{j}+(1) \mathbf{k} \) \\ \( O(x) \mathbf{i}-(y-1) \mathbf{j}+(1) \mathbf{k} \)\end{tabular}

Para calcular el rotacional del campo vectorial \( \vec{F} = (2y - z) \mathbf{i} + (3x + 1) \mathbf{j} + (xy) \mathbf{k} \), utilizamos la fórmula del rotacional en coordenadas cartesianas: \[ \nabla \times \vec{F} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2y - z & 3x + 1 & xy \end{array} \right| \] Calculando este determinante, encontramos cada componente del rotacional: 1. **Componente \( i \)**: \[ \frac{\partial}{\partial y}(xy) - \frac{\partial}{\partial z}(3x + 1) = x - 0 = x \] 2. **Componente \( j \)**: \[ \frac{\partial}{\partial z}(2y - z) - \frac{\partial}{\partial x}(xy) = -1 - y = -(y + 1) \] 3. **Componente \( k \)**: \[ \frac{\partial}{\partial x}(3x + 1) - \frac{\partial}{\partial y}(2y - z) = 3 - 2 = 1 \] Por lo tanto, el rotacional es: \[ \nabla \times \vec{F} = x \mathbf{i} - (y + 1) \mathbf{j} + 1 \mathbf{k} \] **Respuesta:** \( \nabla \times \vec{F} = x \mathbf{i} - (y + 1) \mathbf{j} + \mathbf{k} \) ¿Sabías que el rotacional también puede describir la tendencia de un campo vectorial a girar sobre sí mismo? En el contexto de la física, se utiliza comúnmente en fluidos para entender patrones de vorticidad, que son esenciales para estudiar cómo se comporta un fluido en movimiento. Si te interesa profundizar sobre estos conceptos, te recomendaría buscar libros sobre "Cálculo Vectorial", donde se explican no solo el rotacional, sino también otras herramientas como el divergente y el teorema de Stokes, que ofrecen una comprensión más profunda de cómo interactúan los campos vectoriales en el espacio.