d) Encuentra las coordenadas del punto \( C \) que se encuentra cercano a \( A \) es colineal al segmento \( A B \) sabiendo que \( A(3,1), B(5,2) \) y \( A C \) mide el doble que \( A B \).

Para encontrar las coordenadas del punto \( C \), primero se debe calcular la distancia del segmento \( AB \). La distancia entre los puntos \( A(3,1) \) y \( B(5,2) \) se calcula usando la fórmula de la distancia: \[ d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(5 - 3)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}. \] Dado que la distancia \( AC \) debe ser el doble de \( AB \), entonces \( d_{AC} = 2 \cdot d_{AB} = 2\sqrt{5} \). El punto \( C \) es colineal con \( A \) y \( B \), lo que significa que \( C \) puede ser encontrado siguiendo la dirección del vector \( AB \). El vector \( AB \) se puede expresar como \( (2, 1) \). Normalizando el vector, obtenemos que la dirección es \( \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \). Multiplicamos esta unidad por \( 2\sqrt{5} \) para obtener las coordenadas de \( C \) a partir de \( A \): \[ C = A + 2\sqrt{5} \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = (3,1) + (4, 2) = (7, 3). \] Por lo tanto, las coordenadas del punto \( C \) son \( C(7, 3) \).