43. Dadas as matrizes \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 2\end{array}\right) \) e \( B=\binom{7}{4} \), obtenha a ma- triz \( X \) tal que: \( A \cdot X=B \)

Para resolver a equação matricial \( A \cdot X = B \), precisamos encontrar a matriz \( X \). Primeiramente, a matriz \( A \) é inversível, já que seu determinante (que é \( 1 \cdot 2 - 0 \cdot 3 = 2 \)) é diferente de zero. Portanto, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de \( A \): \[ X = A^{-1} \cdot B. \] Para calcular \( A^{-1} \), usamos a fórmula para a inversa de uma matriz \( 2 \times 2 \): \[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \] onde \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Assim, temos: \[ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \] Agora, substituímos o valor de \( B = \binom{7}{4} = 35 \). Como \( B \) é uma matriz \( 1 \times 1 \), podemos considerar que: \[ B = \begin{pmatrix} 35 \end{pmatrix}. \] Assim, calculamos \( X \): \[ X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 35 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 35 + (-\frac{3}{2}) \cdot 0 \\ 0 \cdot 35 + \frac{1}{2} \cdot 35 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35 \\ \frac{35}{2} \end{pmatrix}. \] Portanto, a matriz \( X \) é \[ X = \begin{pmatrix} 35 \\ \frac{35}{2} \end{pmatrix}. \]