Answer
**Resumen de Composiciones de Funciones**
1. **a)**
- \( f(x) = x^{2} \)
- \( g(x) = \sqrt{x} \)
- \( f \circ g = x \)
- \( g \circ f = |x| \)
- **Dominios:**
- \( f \circ g \): \( x \geq 0 \)
- \( g \circ f \): \( x \in \mathbb{R} \)
- **Comparación:** No son iguales.
2. **b)**
- \( f(x) = \frac{3}{x} \)
- \( g(x) = x^{2} - 1 \)
- \( f \circ g = \frac{3}{x^{2} - 1} \)
- \( g \circ f = \frac{9}{x^{2}} - 1 \)
- **Dominios:**
- \( f \circ g \): \( x \neq \pm 1 \)
- \( g \circ f \): \( x \neq 0 \)
- **Comparación:** No son iguales.
3. **c)**
- \( f(x) = x^{2} - 1 \)
- \( g(x) = \cos x \)
- \( f \circ g = (\cos x)^{2} - 1 \)
- \( g \circ f = \cos(x^{2} - 1) \)
- **Dominios:**
- \( f \circ g \): \( \mathbb{R} \)
- \( g \circ f \): \( \mathbb{R} \)
- **Comparación:** No son iguales.
4. **d)**
- \( f(x) = \frac{1}{x} \)
- \( g(x) = \sqrt{x + 2} \)
- \( f \circ g = \frac{1}{\sqrt{x + 2}} \)
- \( g \circ f = \frac{\sqrt{1 + 2x}}{\sqrt{x}} \)
- **Dominios:**
- \( f \circ g \): \( x > -2 \)
- \( g \circ f \): \( x > 0 \)
- **Comparación:** No son iguales.
**Conclusión:** En todos los casos, las composiciones \( f \circ g \) y \( g \circ f \) son diferentes y tienen dominios distintos.
Solution
Para resolver el problema de composición de funciones, vamos a seguir los siguientes pasos:
1. **Encontrar las funciones compuestas \( f \circ g \) y \( g \circ f \)**.
2. **Determinar el dominio de cada función compuesta**.
3. **Verificar si ambas funciones compuestas son iguales**.
### a)
\[
\begin{array}{l}
f(x)=x^{2} \\
g(x)=\sqrt{x}
\end{array}
\]
**Composición \( f \circ g \)**:
\[
f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^{2} = x
\]
**Composición \( g \circ f \)**:
\[
g(f(x)) = g(x^{2}) = \sqrt{x^{2}} = |x|
\]
**Dominio de \( f \circ g \)**:
El dominio de \( g(x) = \sqrt{x} \) es \( x \geq 0 \). Como \( f(g(x)) = x \) es válido para \( x \geq 0 \), el dominio de \( f \circ g \) es \( [0, \infty) \).
**Dominio de \( g \circ f \)**:
El dominio de \( f(x) = x^{2} \) es \( (-\infty, \infty) \), pero \( g(x^{2}) = \sqrt{x^{2}} \) también es válido para todos los \( x \). Por lo tanto, el dominio de \( g \circ f \) es \( (-\infty, \infty) \).
**Comparación**:
\( f \circ g = x \) y \( g \circ f = |x| \) no son iguales.
---
### b)
\[
\begin{array}{l}
f(x)=\frac{3}{x} \\
g(x)=x^{2}-1
\end{array}
\]
**Composición \( f \circ g \)**:
\[
f(g(x)) = f(x^{2}-1) = \frac{3}{x^{2}-1}
\]
**Composición \( g \circ f \)**:
\[
g(f(x)) = g\left(\frac{3}{x}\right) = \left(\frac{3}{x}\right)^{2} - 1 = \frac{9}{x^{2}} - 1
\]
**Dominio de \( f \circ g \)**:
El dominio de \( g(x) = x^{2}-1 \) es \( (-\infty, \infty) \). Sin embargo, \( f(g(x)) \) no está definido cuando \( g(x) = 0 \), es decir, \( x^{2}-1 = 0 \) o \( x = \pm 1 \). Por lo tanto, el dominio de \( f \circ g \) es \( (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty) \).
**Dominio de \( g \circ f \)**:
El dominio de \( f(x) = \frac{3}{x} \) es \( x \neq 0 \). Entonces, el dominio de \( g(f(x)) \) es \( x \neq 0 \), que es \( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \).
**Comparación**:
\( f \circ g = \frac{3}{x^{2}-1} \) y \( g \circ f = \frac{9}{x^{2}} - 1 \) no son iguales.
---
### c)
\[
\begin{array}{l}
f(x)=x^{2}-1 \\
g(x)=\cos x
\end{array}
\]
**Composición \( f \circ g \)**:
\[
f(g(x)) = f(\cos x) = (\cos x)^{2} - 1
\]
**Composición \( g \circ f \)**:
\[
g(f(x)) = g(x^{2}-1) = \cos(x^{2}-1)
\]
**Dominio de \( f \circ g \)**:
El dominio de \( g(x) = \cos x \) es \( (-\infty, \infty) \), por lo que el dominio de \( f \circ g \) es \( (-\infty, \infty) \).
**Dominio de \( g \circ f \)**:
El dominio de \( f(x) = x^{2}-1 \) es \( (-\infty, \infty) \), así que el dominio de \( g \circ f \) también es \( (-\infty, \infty) \).
**Comparación**:
\( f \circ g = (\cos x)^{2} - 1 \) y \( g \circ f = \cos(x^{2}-1) \) no son iguales.
---
### d)
\[
\begin{array}{l}
f(x)=\frac{1}{x} \\
g(x)=\sqrt{x+2}
\end{array}
\]
**Composición \( f \circ g \)**:
\[
f(g(x)) = f(\sqrt{x+2}) = \frac{1}{\sqrt{x+2}}
\]
**Composición \( g \circ f \)**:
\[
g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \sqrt{\frac{1}{x}+2} = \sqrt{\frac{1+2x}{x}} = \frac{\sqrt{1+2x}}{\sqrt{x}}
\]
**Dominio de \( f \circ g \)**:
El dominio de \( g(x) = \sqrt{x+2} \) es \( x + 2 \geq 0 \) o \( x \geq -2 \). Sin embargo, \( f(g(x)) \) no está definido cuando \( g(x) = 0 \), es decir, \( \sqrt{x+2} = 0 \) o \( x = -2 \). Por lo tanto, el dominio de \( f \circ g \) es \( (-2, \infty) \).
**Dominio de \( g \circ f \)**:
El dominio de \( f(x) = \frac{1}{x} \) es \( x \neq 0 \). Entonces, el dominio de \( g(f(x)) \) es \( x > 0 \) (ya que \( f(x) \) debe ser positivo para que \( g \) esté definido). Por lo tanto, el dominio de \( g \circ f \) es \( (0, \infty) \).
**Comparación**:
\( f \circ g = \frac{1}{\sqrt{x+2}} \) y \( g \circ f = \frac{\sqrt{1+2x}}{\sqrt{x}} \) no son iguales.
---
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
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