2- Sea la Transformación lineal $$ T: R^{3} \rightarrow R^{3} $$ y los vectores $$ \vec{u} 1=(1,0,0) \quad \vec{u} 2=(0,5+1,0) $$, $$ \vec{u}=(0,-1,5+2) $$ tal que: $$ T(\vec{u} 1)=(=1+5,0,0) $$ y $$ T\left(\overrightarrow{u_{3}}\right)=(0,0,2) $$ a) Verificar que se cumplen las condiciones para la existencia de una unica $$ T . L $$ y exontrar la expresión de la TL. b) Hallar el núcleo, una base y su dimensión. c) Encontrar la imagen, una base y la dimension.

Question

Moran Lindsey · Accepted Answer

a) Los vectores $$ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} $$ son linealmente independientes, por lo que existe una única $$ T.L. $$. La expresión de $$ T $$ es $$ T(\vec{u_1}) = (6, 0, 0) $$, $$ T(\vec{u_2}) = (0, 0, 2) $$, y $$ T(\vec{u_3}) = (42, 0, -2) $$. b) El núcleo de $$ T $$ es $$ \{(-6t, t, 0) : t \in \mathbb{R}\} $$ con base $$ \{(-6, 1, 0)\} $$ y dimensión 1. c) La imagen de $$ T $$ es generada por $$ \{(6, 0, 0), (0, 0, 2)\} $$ con dimensión 2.

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