15. Sea \( X \) una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a\left(4 x-x^{3}\right) & \text {; si } 0 \leq x \leq 2 \\ 0 \quad ; & \text { de lo contrario }\end{array}\right. \] Determinar el valor de \( a \)

10. Un laboratorio ambiental tiene dos fuentes de agua: Fuente A: Proporciona el \( 60 \% \) del agua que se analiza. Fuente B: Proporciona el \( 40 \% \) restante. Se sabe que: El 5\% del agua de la Fuente A está contaminada. El 10\% del agua de la Fuente B está contaminada. Una muestra de agua seleccionada al azar resulta estar contaminada. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contaminada provenga de la Fuente A?

7. En un análisis de calidad de aire, se encuentran dos tipos de contaminantes: dióxido de azufre \( \left(\mathrm{SO}_{2}\right) \) y material particulado (PM10). Una muestra puede contener ambos. La probabilidad de encontrar \( \mathrm{SO}_{2} \) es 0.4 , la de PM 10 es 0.6 , y la probabilidad de encontrar ambos es 0.2 . ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos uno de los dos contaminantes?

Considera una moneda normal y un dado común. Al lanzar la moneda y el dado al aire al mismo tempo, caúl es la probabilidad de no obtener la combinación cara en la moneda y una puntuación mayor que 4 en el dado? A) \( \frac{9}{12} \) B) \( \frac{10}{12} \) C) \( \frac{3}{12} \) D) \( \frac{2}{12} \)

2) Calcular la probabilidad de que sea mujer, dado que tiene ojos azules. \( \begin{array}{llll}\text { A) } 1 / 5 & \text { B) } 13 / 20 & \text { C) } 45 / 58 & \text { D) } 13 / 58\end{array} \)

15. Sea \( X \) una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a\left(4 x-x^{3}\right) & \text {; si } 0 \leq x \leq 2 \\ 0 \quad ; & \text { de lo contrario }\end{array}\right. \] Determinar el valor de \( a \)