El calor en un ducto circular está representado por $$ f(r, z)=r^{2}+z^{2} $$. Si el ducto tiene radio 2 y altura 3 , ¿cuál es el volumen total del calor?

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Para calcular el volumen total del calor en el ducto circular, primero necesitamos entender que el calor está representado por la función $$ f(r, z) = r^2 + z^2 $$. Dado que el ducto tiene un radio de 2 y una altura de 3, podemos usar coordenadas cilíndricas para calcular el volumen total del calor.

### Paso 1: Definir los límites de integración
- El radio $$ r $$ varía de 0 a 2.
- La altura $$ z $$ varía de 0 a 3.
- En coordenadas cilíndricas, el elemento de volumen $$ dV $$ se expresa como $$ dV = r \, dr \, d\theta \, dz $$.

### Paso 2: Configurar la integral
La integral para el volumen total del calor $$ V $$ se puede expresar como:

$$
V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^3 f(r, z) \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
$$

Sustituyendo $$ f(r, z) $$:

$$
V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^3 (r^2 + z^2) \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
$$

### Paso 3: Calcular la integral
Ahora, vamos a calcular la integral paso a paso. Primero, integramos respecto a $$ z $$:

$$
\int_0^3 (r^2 + z^2) \cdot r \, dz = r \int_0^3 (r^2 + z^2) \, dz
$$

Calculamos la integral:

$$
\int_0^3 (r^2 + z^2) \, dz = \left[ r^2 z + \frac{z^3}{3} \right]_0^3 = r^2 \cdot 3 + \frac{3^3}{3} = 3r^2 + 9
$$

Por lo tanto:

$$
\int_0^3 (r^2 + z^2) \cdot r \, dz = r(3r^2 + 9) = 3r^3 + 9r
$$

### Paso 4: Integrar respecto a $$ r $$
Ahora integramos respecto a $$ r $$:

$$
\int_0^2 (3r^3 + 9r) \, dr = \left[ \frac{3r^4}{4} + \frac{9r^2}{2} \right]_0^2
$$

Calculamos:

$$
= \left[ \frac{3(2^4)}{4} + \frac{9(2^2)}{2} \right] = \left[ \frac{3 \cdot 16}{4} + \frac{9 \cdot 4}{2} \right] = \left[ 12 + 18 \right] = 30
$$

### Paso 5: Integrar respecto a $$ \theta $$
Finalmente, integramos respecto a $$ \theta $$:

$$
\int_0^{2\pi} 30 \, d\theta = 30 \cdot (2\pi) = 60\pi
$$

### Resultado final
El volumen total del calor en el ducto circular es:

$$
V = 60\pi
$$

Por lo tanto, el volumen total del calor en el ducto es $$ 60\pi $$.
El volumen total del calor en el ducto circular es $$ 60\pi $$.

El calor en un ducto circular está representado por \( f(r, z)=r^{2}+z^{2} \). Si el ducto tiene radio 2 y altura 3 , ¿cuál es el volumen total del calor?

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