El calor en un ducto circular está representado por \( f(r, z)=r^{2}+z^{2} \). Si el ducto tiene radio 2 y altura 3 , ¿cuál es el volumen total del calor?

Para calcular el volumen total del calor en el ducto circular, primero necesitamos entender que el calor está representado por la función \( f(r, z) = r^2 + z^2 \). Dado que el ducto tiene un radio de 2 y una altura de 3, podemos usar coordenadas cilíndricas para calcular el volumen total del calor. ### Paso 1: Definir los límites de integración - El radio \( r \) varía de 0 a 2. - La altura \( z \) varía de 0 a 3. - En coordenadas cilíndricas, el elemento de volumen \( dV \) se expresa como \( dV = r \, dr \, d\theta \, dz \). ### Paso 2: Configurar la integral La integral para el volumen total del calor \( V \) se puede expresar como: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^3 f(r, z) \cdot r \, dz \, dr \, d\theta \] Sustituyendo \( f(r, z) \): \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^3 (r^2 + z^2) \cdot r \, dz \, dr \, d\theta \] ### Paso 3: Calcular la integral Ahora, vamos a calcular la integral paso a paso. Primero, integramos respecto a \( z \): \[ \int_0^3 (r^2 + z^2) \cdot r \, dz = r \int_0^3 (r^2 + z^2) \, dz \] Calculamos la integral: \[ \int_0^3 (r^2 + z^2) \, dz = \left[ r^2 z + \frac{z^3}{3} \right]_0^3 = r^2 \cdot 3 + \frac{3^3}{3} = 3r^2 + 9 \] Por lo tanto: \[ \int_0^3 (r^2 + z^2) \cdot r \, dz = r(3r^2 + 9) = 3r^3 + 9r \] ### Paso 4: Integrar respecto a \( r \) Ahora integramos respecto a \( r \): \[ \int_0^2 (3r^3 + 9r) \, dr = \left[ \frac{3r^4}{4} + \frac{9r^2}{2} \right]_0^2 \] Calculamos: \[ = \left[ \frac{3(2^4)}{4} + \frac{9(2^2)}{2} \right] = \left[ \frac{3 \cdot 16}{4} + \frac{9 \cdot 4}{2} \right] = \left[ 12 + 18 \right] = 30 \] ### Paso 5: Integrar respecto a \( \theta \) Finalmente, integramos respecto a \( \theta \): \[ \int_0^{2\pi} 30 \, d\theta = 30 \cdot (2\pi) = 60\pi \] ### Resultado final El volumen total del calor en el ducto circular es: \[ V = 60\pi \] Por lo tanto, el volumen total del calor en el ducto es \( 60\pi \).