El calor en un ducto circular está representado por \( f(r, z)=r^{2}+z^{2} \). Si el ducto tiene radio 2 y altura 3 , ¿cuál es el volumen total del calor?
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The Deep Dive
Para calcular el volumen total del calor en el ducto circular, se puede usar la integral triple en coordenadas cilíndricas, donde \( r \) va de 0 a 2, \( z \) de 0 a 3, y \( \theta \) de 0 a \( 2\pi \). Aquí, \( f(r, z) \) será multiplicado por el elemento de volumen \( r \, dr \, d\theta \, dz \). La integral es: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^3 (r^2 + z^2) r \, dz \, dr \, d\theta \] Calculando, el volumen total del calor se puede determinar como \( V = 12\pi \) unidades cúbicas. Integra primero en \( z \), luego en \( r \), y al final en \( \theta \) para obtener el resultado total.
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