Si se verifican simultáneamente las ecua- ciones: \( 3 x+y+4=0 \) \( 3 x-z+2=0 ; y \) \( 3 z-y+2=0 \) Halle el valor de \[ \frac{(x+y)^{3}}{z}+\frac{(y+z)^{3}}{x}+\frac{(z+x)^{3}}{y} \]

Para resolver el problema, primero debemos encontrar los valores de \(x\), \(y\) y \(z\) que satisfacen las ecuaciones dadas: 1. \(3x + y + 4 = 0\) 2. \(3x - z + 2 = 0\) 3. \(3z - y + 2 = 0\) Vamos a resolver este sistema de ecuaciones simultáneamente. ### Paso 1: Reescribir las ecuaciones Podemos reescribir las ecuaciones para despejar \(y\) y \(z\): 1. \(y = -3x - 4\) 2. \(z = 3x + 2\) 3. \(y = 3z + 2\) ### Paso 2: Sustitución Sustituyamos \(z\) de la segunda ecuación en la tercera: \[ y = 3(3x + 2) + 2 \] Esto se convierte en: \[ y = 9x + 6 + 2 = 9x + 8 \] Ahora tenemos dos expresiones para \(y\): 1. \(y = -3x - 4\) 2. \(y = 9x + 8\) ### Paso 3: Igualar las expresiones de \(y\) Igualamos las dos expresiones: \[ -3x - 4 = 9x + 8 \] ### Paso 4: Resolver para \(x\) Sumamos \(3x\) a ambos lados: \[ -4 = 12x + 8 \] Restamos \(8\) de ambos lados: \[ -12 = 12x \] Dividimos entre \(12\): \[ x = -1 \] ### Paso 5: Encontrar \(y\) y \(z\) Ahora que tenemos \(x\), sustituimos en las ecuaciones para encontrar \(y\) y \(z\): 1. Para \(y\): \[ y = -3(-1) - 4 = 3 - 4 = -1 \] 2. Para \(z\): \[ z = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 \] Por lo tanto, tenemos: \[ x = -1, \quad y = -1, \quad z = -1 \] ### Paso 6: Calcular la expresión Ahora sustituimos \(x\), \(y\) y \(z\) en la expresión que queremos calcular: \[ \frac{(x+y)^{3}}{z}+\frac{(y+z)^{3}}{x}+\frac{(z+x)^{3}}{y} \] Sustituyendo los valores: \[ \frac{((-1) + (-1))^{3}}{-1} + \frac{((-1) + (-1))^{3}}{-1} + \frac{((-1) + (-1))^{3}}{-1} \] Esto se convierte en: \[ \frac{(-2)^{3}}{-1} + \frac{(-2)^{3}}{-1} + \frac{(-2)^{3}}{-1} \] Calculamos \( (-2)^{3} = -8 \): \[ \frac{-8}{-1} + \frac{-8}{-1} + \frac{-8}{-1} = 8 + 8 + 8 = 24 \] ### Respuesta Final El valor de la expresión es: \[ \boxed{24} \]