Si se verifican simultáneamente las ecua- ciones: \( 3 x+y+4=0 \) \( 3 x-z+2=0 ; y \) \( 3 z-y+2=0 \) Halle el valor de \[ \frac{(x+y)^{3}}{z}+\frac{(y+z)^{3}}{x}+\frac{(z+x)^{3}}{y} \]

Para resolver el sistema de ecuaciones: 1. \( 3x + y + 4 = 0 \) Podemos despejar \( y \): \( y = -3x - 4 \) 2. \( 3x - z + 2 = 0 \) Despejamos \( z \): \( z = 3x + 2 \) 3. \( 3z - y + 2 = 0 \) Reemplazamos \( z \) y \( y \) en esta ecuación: \( 3(3x + 2) - (-3x - 4) + 2 = 0 \) Simplificando: \( 9x + 6 + 3x + 4 + 2 = 0 \) \( 12x + 12 = 0 \) \( x = -1 \) Sustituyendo \( x = -1 \) en la ecuación de \( y \): \( y = -3(-1) - 4 = 3 - 4 = -1 \) Y en la de \( z \): \( z = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 \) Por lo tanto, \( x = -1 \), \( y = -1 \), y \( z = -1 \). Ahora, sustituimos estos valores en la expresión a calcular: \[ \frac{(x+y)^{3}}{z} + \frac{(y+z)^{3}}{x} + \frac{(z+x)^{3}}{y} \] Calculamos cada término: \( x + y = -1 + (-1) = -2 \) \( y + z = -1 + (-1) = -2 \) \( z + x = -1 + (-1) = -2 \) Entonces, cada término se vuelve: \[ \frac{(-2)^{3}}{-1} + \frac{(-2)^{3}}{-1} + \frac{(-2)^{3}}{-1} \] Que se simplifica a: \[ \frac{-8}{-1} + \frac{-8}{-1} + \frac{-8}{-1} = 8 + 8 + 8 = 24 \] Por lo tanto, el resultado es: \[ \boxed{24} \]