Data la funzione \( y=x a x^{2}+b-3 \), determina- re il valore dei coefficienti \( a \) e \( b \) per i quali il grafico della funzione è tangente nel punto di ascissa \( x=1 \) alla retta di equazione \( y=7 x-9 \).

Per determinare i coefficienti \( a \) e \( b \), iniziamo a calcolare il valore di \( y \) quando \( x = 1 \) utilizzando la retta \( y = 7x - 9 \): \[ y = 7(1) - 9 = -2. \] Ora sostituiamo \( x = 1 \) nella funzione \( y = ax + x^2 + b - 3 \): \[ -2 = a(1) + (1)^2 + b - 3. \] Da questa equazione otteniamo: \[ -2 = a + 1 + b - 3 \implies a + b - 2 = -2 \implies a + b = 0. \tag{1} \] Passiamo ora a calcolare la derivata della funzione \( y = ax + x^2 + b - 3 \) per trovare la pendenza in \( x = 1 \): \[ \frac{dy}{dx} = a + 2x. \] Sostituendo \( x = 1 \): \[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=1} = a + 2(1) = a + 2. \] La retta \( y = 7x - 9 \) ha una pendenza costante di \( 7 \). Per la tangente, dobbiamo avere: \[ a + 2 = 7 \implies a = 5. \tag{2} \] Sostituiamo \( a = 5 \) nell'equazione (1): \[ 5 + b = 0 \implies b = -5. \] Quindi, i valori dei coefficienti \( a \) e \( b \) sono \( a = 5 \) e \( b = -5 \).