Data la funzione \( y=x a x^{2}+b-3 \), determina- re il valore dei coefficienti \( a \) e \( b \) per i quali il grafico della funzione è tangente nel punto di ascissa \( x=1 \) alla retta di equazione \( y=7 x-9 \).

1. La funzione è data da \[ y = ax^2 + b - 3 . \] La retta data è \[ y = 7x - 9 . \] 2. Affinché la funzione sia tangente alla retta in \( x=1 \), devono valere due condizioni: - Il punto di tangenza appartiene ad entrambe le curve. - Le pendenze (derivate) sono uguali in \( x=1 \). 3. Calcoliamo il valore di \( y \) per la funzione in \( x=1 \): \[ y(1) = a\cdot(1)^2 + b - 3 = a + b - 3. \] Poiché il punto appartiene anche alla retta, abbiamo: \[ a + b - 3 = 7\cdot1 - 9 = 7 - 9 = -2. \] Quindi: \[ a + b = 1. \quad \text{(Equazione 1)} \] 4. Calcoliamo la derivata della funzione: \[ y'(x) = \frac{d}{dx}(ax^2 + b - 3) = 2ax. \] Alla condizione di tangenza, in \( x=1 \) la derivata deve essere uguale alla pendenza della retta, cioè 7: \[ 2a\cdot1 = 7 \quad \Rightarrow \quad 2a = 7 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{7}{2}. \quad \text{(Equazione 2)} \] 5. Sostituendo il valore di \( a \) nell'Equazione 1: \[ \frac{7}{2} + b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = 1 - \frac{7}{2} = \frac{2}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}. \] 6. Quindi, i coefficienti sono: \[ a = \frac{7}{2} \quad \text{e} \quad b = -\frac{5}{2}. \]