Решите неравенство \( \frac{15^{x}-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^{2}+2 x} \geq 0 \).

Давайте сначала упростим неравенство и найдём его решение. Сначала перепишем выражение в числителе: \[ 15^{x} = (3 \cdot 5)^{x} = 3^{x} \cdot 5^{x} \] Таким образом, выражение в числителе становится: \[ 3^{x} \cdot 5^{x} - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15 \] Мы можем переписать \(3^{x+1}\) как \(3 \cdot 3^{x}\) и \(5^{x+1}\) как \(5 \cdot 5^{x}\): \[ 3^{x} \cdot 5^{x} - 3 \cdot 3^{x} - 5 \cdot 5^{x} + 15 \] Теперь подставим \(3^{x} = a\) и \(5^{x} = b\), тогда неравенство можно записать так: \[ ab - 3a - 5b + 15 \geq 0 \] Теперь найдем критические точки, при которых числитель и знаменатель изначального выражения равны нулю. Для знаменателя: \[ -x^{2} + 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 2 \] Теперь решим неравенство. Анализируем изменения знака числителя \(ab - 3a - 5b + 15\). Затем подставим различные значения \(x\), чтобы понять, когда выражение положительно или равно нулю. Для этого проведём пробные точки на промежутках, определенных критическими точками \(x=0\) и \(x=2\). 1. Для \(x < 0\) 2. Для \(0 < x < 2\) 3. Для \(x > 2\) После подстановок нужно проанализировать знаки и определить, в каких интервалах выражение не отрицательно. При решении уравнений возможно также появление дополнительных условий для числителя, поэтому выполните анализ каждого случая и объедините секции, где результат будет больше или равен нулю. Это создаст полное решение неравенства. В итоге, найдите конечные интервалы, где выполнено неравенство: \(x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)\).