Question
upstudy study bank question image url

Решите неравенство \( \frac{15^{x}-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^{2}+2 x} \geq 0 \).

Ask by Mckenzie Bond. in Russia
Mar 13,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

Решение неравенства: \[ \frac{15^{x}-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^{2}+2 x} \geq 0 \] дает ответ: \[ x \in \left( -\infty, 0 \right) \cup \left( \log_{5}{(3)}, \log_{3}{(5)} \right) \cup \left( 2, +\infty \right) \]

Solution

Sign in to Unlock Answers for Free!

A Learning Platform Trusted by Millions of Real Students and Teachers.

star-icon Unlock

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

Mind Expander

Давайте сначала упростим неравенство и найдём его решение. Сначала перепишем выражение в числителе: \[ 15^{x} = (3 \cdot 5)^{x} = 3^{x} \cdot 5^{x} \] Таким образом, выражение в числителе становится: \[ 3^{x} \cdot 5^{x} - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15 \] Мы можем переписать \(3^{x+1}\) как \(3 \cdot 3^{x}\) и \(5^{x+1}\) как \(5 \cdot 5^{x}\): \[ 3^{x} \cdot 5^{x} - 3 \cdot 3^{x} - 5 \cdot 5^{x} + 15 \] Теперь подставим \(3^{x} = a\) и \(5^{x} = b\), тогда неравенство можно записать так: \[ ab - 3a - 5b + 15 \geq 0 \] Теперь найдем критические точки, при которых числитель и знаменатель изначального выражения равны нулю. Для знаменателя: \[ -x^{2} + 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 2 \] Теперь решим неравенство. Анализируем изменения знака числителя \(ab - 3a - 5b + 15\). Затем подставим различные значения \(x\), чтобы понять, когда выражение положительно или равно нулю. Для этого проведём пробные точки на промежутках, определенных критическими точками \(x=0\) и \(x=2\). 1. Для \(x < 0\) 2. Для \(0 < x < 2\) 3. Для \(x > 2\) После подстановок нужно проанализировать знаки и определить, в каких интервалах выражение не отрицательно. При решении уравнений возможно также появление дополнительных условий для числителя, поэтому выполните анализ каждого случая и объедините секции, где результат будет больше или равен нулю. Это создаст полное решение неравенства. В итоге, найдите конечные интервалы, где выполнено неравенство: \(x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)\).

Try Premium now!
Try Premium and ask Thoth AI unlimited math questions now!
Maybe later Go Premium
Study can be a real struggle
Why not UpStudy it?
Select your plan below
Premium

You can enjoy

Start now
  • Step-by-step explanations
  • 24/7 expert live tutors
  • Unlimited number of questions
  • No interruptions
  • Full access to Answer and Solution
  • Full Access to PDF Chat, UpStudy Chat, Browsing Chat
Basic

Totally free but limited

  • Limited Solution
Welcome to UpStudy!
Please sign in to continue the Thoth AI Chat journey
Continue with Email
Or continue with
By clicking “Sign in”, you agree to our Terms of Use & Privacy Policy