Pregunta
upstudy study bank question image url

Решите неравенство \( \frac{15^{x}-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^{2}+2 x} \geq 0 \).

Ask by Mckenzie Bond. in Russia
Mar 13,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

Решение неравенства: \[ \frac{15^{x}-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^{2}+2 x} \geq 0 \] дает ответ: \[ x \in \left( -\infty, 0 \right) \cup \left( \log_{5}{(3)}, \log_{3}{(5)} \right) \cup \left( 2, +\infty \right) \]

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Mind Expander

Давайте сначала упростим неравенство и найдём его решение. Сначала перепишем выражение в числителе: \[ 15^{x} = (3 \cdot 5)^{x} = 3^{x} \cdot 5^{x} \] Таким образом, выражение в числителе становится: \[ 3^{x} \cdot 5^{x} - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15 \] Мы можем переписать \(3^{x+1}\) как \(3 \cdot 3^{x}\) и \(5^{x+1}\) как \(5 \cdot 5^{x}\): \[ 3^{x} \cdot 5^{x} - 3 \cdot 3^{x} - 5 \cdot 5^{x} + 15 \] Теперь подставим \(3^{x} = a\) и \(5^{x} = b\), тогда неравенство можно записать так: \[ ab - 3a - 5b + 15 \geq 0 \] Теперь найдем критические точки, при которых числитель и знаменатель изначального выражения равны нулю. Для знаменателя: \[ -x^{2} + 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 2 \] Теперь решим неравенство. Анализируем изменения знака числителя \(ab - 3a - 5b + 15\). Затем подставим различные значения \(x\), чтобы понять, когда выражение положительно или равно нулю. Для этого проведём пробные точки на промежутках, определенных критическими точками \(x=0\) и \(x=2\). 1. Для \(x < 0\) 2. Для \(0 < x < 2\) 3. Для \(x > 2\) После подстановок нужно проанализировать знаки и определить, в каких интервалах выражение не отрицательно. При решении уравнений возможно также появление дополнительных условий для числителя, поэтому выполните анализ каждого случая и объедините секции, где результат будет больше или равен нулю. Это создаст полное решение неравенства. В итоге, найдите конечные интервалы, где выполнено неравенство: \(x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)\).

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad