2. Dada la sucesión geométrica con $$ a_{4}=4 $$ y $$ a_{7}=12 $$ encontrar ry $$ a_{10} $$

Question

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Para resolver el problema, primero recordemos que en una sucesión geométrica, cada término se puede expresar en función del primer término y la razón común. La fórmula general para el $$ n $$-ésimo término de una sucesión geométrica es:

$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$

donde $$ a_1 $$ es el primer término y $$ r $$ es la razón común.

Dado que tenemos $$ a_4 = 4 $$ y $$ a_7 = 12 $$, podemos escribir las siguientes ecuaciones:

1. $$ a_4 = a_1 \cdot r^{3} = 4 $$
2. $$ a_7 = a_1 \cdot r^{6} = 12 $$

Ahora, podemos dividir la segunda ecuación entre la primera para eliminar $$ a_1 $$:

$$
\frac{a_7}{a_4} = \frac{a_1 \cdot r^{6}}{a_1 \cdot r^{3}} = \frac{12}{4}
$$

Esto simplifica a:

$$
r^{3} = 3
$$

De aquí, podemos encontrar $$ r $$:

$$
r = 3^{1/3} = \sqrt[3]{3}
$$

Ahora que tenemos $$ r $$, podemos sustituirlo en la primera ecuación para encontrar $$ a_1 $$:

$$
a_1 \cdot (\sqrt[3]{3})^{3} = 4
$$

Esto se simplifica a:

$$
a_1 \cdot 3 = 4 \implies a_1 = \frac{4}{3}
$$

Ahora que tenemos $$ a_1 $$ y $$ r $$, podemos encontrar $$ a_{10} $$:

$$
a_{10} = a_1 \cdot r^{9}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
a_{10} = \frac{4}{3} \cdot (\sqrt[3]{3})^{9}
$$

Calculamos $$ (\sqrt[3]{3})^{9} = 3^{3} = 27 $$:

$$
a_{10} = \frac{4}{3} \cdot 27 = \frac{108}{3} = 36
$$

Por lo tanto, el valor de $$ a_{10} $$ es:

$$
\boxed{36}
$$
La razón común $$ r $$ es $$ \sqrt[3]{3} $$ y el primer término $$ a_1 $$ es $$ \frac{4}{3} $$. El décimo término $$ a_{10} $$ es 36.

2. Dada la sucesión geométrica con \( a_{4}=4 \) y \( a_{7}=12 \) encontrar ry \( a_{10} \)

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