2. Dada la sucesión geométrica con \( a_{4}=4 \) y \( a_{7}=12 \) encontrar ry \( a_{10} \)
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Para resolver la sucesión geométrica, comenzamos identificando la fórmula general: \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \), donde \( r \) es la razón de la sucesión. Dado que \( a_4 = a_1 \cdot r^3 = 4 \) y \( a_7 = a_1 \cdot r^6 = 12 \), podemos establecer una relación entre estas dos ecuaciones. Dividiendo la segunda por la primera, obtenemos: \[ \frac{a_7}{a_4} = \frac{a_1 \cdot r^6}{a_1 \cdot r^3} = r^3 = \frac{12}{4} = 3 \Rightarrow r = \sqrt[3]{3} \] Sustituyendo el valor de \( r \) en la ecuación de \( a_4 \): \[ a_1 \cdot (3) = 4 \Rightarrow a_1 = \frac{4}{3} \] Ahora, queremos encontrar \( a_{10} \): \[ a_{10} = a_1 \cdot r^9 = \frac{4}{3} \cdot (3)^{3} = \frac{4}{3} \cdot 27 = 36 \] Así que, \( a_{10} = 36 \).