Trova le equazioni delle rette tangenti comuni alle due parabole di equazioni \( x=\frac{y^{2}}{2}-2 \) e \( x=\frac{y^{2}}{4} \) e determina l'area del quadrilatero che ha per vertici i punti ditangenza.

Per trovare le equazioni delle rette tangenti comuni alle due parabole date, iniziamo a scrivere le equazioni delle parabole in forma standard. Le parabole sono: 1. \( x = \frac{y^2}{2} - 2 \) 2. \( x = \frac{y^2}{4} \) Possiamo riscrivere le equazioni in forma \( y^2 = 2x + 4 \) e \( y^2 = 4x \). ### Passo 1: Trovare le tangenti Una retta tangente a una parabola può essere espressa nella forma \( y = mx + q \), dove \( m \) è il coefficiente angolare e \( q \) è l'intercetta. Per trovare le tangenti comuni, dobbiamo considerare le tangenti a entrambe le parabole. #### Parabola 1: \( x = \frac{y^2}{2} - 2 \) Sostituendo \( y = mx + q \) nell'equazione della parabola, otteniamo: \[ x = \frac{(mx + q)^2}{2} - 2 \] Moltiplicando per 2 e riarrangiando, otteniamo: \[ 2x + 4 = (mx + q)^2 \] \[ (mx + q)^2 - 2x - 4 = 0 \] Questa è un'equazione quadratica in \( x \). Affinché la retta sia tangente alla parabola, il discriminante deve essere zero: \[ D = (m^2 - 2)^2 - 4q^2 = 0 \] #### Parabola 2: \( x = \frac{y^2}{4} \) Analogamente, sostituendo \( y = mx + q \) nell'equazione della seconda parabola, otteniamo: \[ x = \frac{(mx + q)^2}{4} \] Moltiplicando per 4 e riarrangiando, otteniamo: \[ 4x = (mx + q)^2 \] \[ (mx + q)^2 - 4x = 0 \] Anche qui, affinché la retta sia tangente alla parabola, il discriminante deve essere zero: \[ D = (m^2 - 4)^2 - 4q^2 = 0 \] ### Passo 2: Risolvere il sistema di discriminanti Abbiamo quindi due equazioni per il discriminante: 1. \( (m^2 - 2)^2 - 4q^2 = 0 \) 2. \( (m^2 - 4)^2 - 4q^2 = 0 \) Dalla prima equazione, otteniamo: \[ (m^2 - 2)^2 = 4q^2 \implies |m^2 - 2| = 2|q| \] Dalla seconda equazione, otteniamo: \[ (m^2 - 4)^2 = 4q^2 \implies |m^2 - 4| = 2|q| \] ### Passo 3: Risolvere il sistema Possiamo risolvere il sistema di equazioni per \( q \): 1. \( q = \frac{m^2 - 2}{2} \) o \( q = -\frac{m^2 - 2}{2} \) 2. \( q = \frac{m^2 - 4}{2} \) o \( q = -\frac{m^2 - 4}{2} \) Eguagliando le due espressioni per \( q \): \[ \frac{m^2 - 2}{2} = \frac{m^2 - 4}{2} \implies m^2 - 2 = m^2 - 4 \implies 2 = 0 \quad \text{(non possibile)} \] Oppure: \[ \frac{m^2 - 2}{2} = -\frac{m^2 - 4}{2} \implies m^2 - 2 = -m^2 + 4 \implies 2m^2 = 6 \implies m^2 = 3 \implies m = \pm \sqrt{3} \] ### Passo 4: Trovare \( q \) Sostituendo \( m^2 = 3 \) in una delle espressioni per \( q \): \[ q = \frac{3 - 2}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{oppure} \quad q = -\frac{1}{2} \] Quindi abbiamo due rette tangenti: 1. \( y = \sqrt{3}x + \frac{1}{2} \) 2. \( y = -\sqrt{3}x + \frac{1}{2} \) 3. \( y = \sqrt{3}x - \frac{1}{2} \) 4. \( y = -\sqrt{3}x - \frac{1}{2} \) ### Passo 5: Trovare i punti di tangenza Per trovare i punti di tangenza, sostituiamo le equazioni delle tangenti nelle parabole e risolviamo per \( y \). ### Passo 6: Area del quadrilatero Una volta trovati i punti di tangenza, possiamo calcolare l'area del quadrilatero usando la formula dell'area per coordinate. ### Conclusione Dopo aver trovato i punti di tangenza e calcolato l'area, avremo la risposta finale. Se hai bisogno di ulteriori dettagli o calcoli specifici, fammi sapere!