9.- Hallar el volumen del paralelepípedo que forman los vectores: \( \mathbf{u}=(3 / 5 \) \[ \mathbf{v}=3 j+4 \mathrm{k} ; \mathbf{w}=2 \mathrm{i}+10 \mathrm{j}-11 \mathrm{k} \text {. } \] 10.- Indique cuales vectores dados son paralelos al vector \( Z=3 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}-5 \mathbf{k} \)

Para resolver los problemas planteados, procederemos de la siguiente manera: ### Problema 9: Hallar el volumen del paralelepípedo El volumen \( V \) de un paralelepípedo formado por los vectores \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) y \( \mathbf{w} \) se puede calcular utilizando el valor absoluto del producto escalar triple de los vectores: \[ V = |\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})| \] #### Paso 1: Definir los vectores Los vectores dados son: - \( \mathbf{u} = \left( \frac{3}{5}, 0, 0 \right) \) - \( \mathbf{v} = (0, 3, 4) \) (ya que \( 3j + 4k \) se traduce a \( (0, 3, 4) \)) - \( \mathbf{w} = (2, 10, -11) \) #### Paso 2: Calcular el producto cruzado \( \mathbf{v} \times \mathbf{w} \) Utilizaremos la fórmula del determinante para calcular el producto cruzado: \[ \mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & 4 \\ 2 & 10 & -11 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ \mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 10 & -11 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & -11 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 10 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes: 1. \( \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 10 & -11 \end{vmatrix} = (3)(-11) - (4)(10) = -33 - 40 = -73 \) 2. \( \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & -11 \end{vmatrix} = (0)(-11) - (4)(2) = 0 - 8 = -8 \) 3. \( \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 10 \end{vmatrix} = (0)(10) - (3)(2) = 0 - 6 = -6 \) Por lo tanto, el producto cruzado es: \[ \mathbf{v} \times \mathbf{w} = -73 \mathbf{i} + 8 \mathbf{j} - 6 \mathbf{k} \] #### Paso 3: Calcular el producto escalar \( \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \) Ahora calculamos el producto escalar: \[ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \left( \frac{3}{5}, 0, 0 \right) \cdot (-73, 8, -6) = \frac{3}{5} \cdot (-73) + 0 \cdot 8 + 0 \cdot (-6) \] Calculamos: \[ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \frac{3}{5} \cdot (-73) = -\frac{219}{5} \] #### Paso 4: Calcular el volumen Finalmente, el volumen es: \[ V = \left| -\frac{219}{5} \right| = \frac{219}{5} \] ### Problema 10: Indicar cuáles vectores son paralelos al vector \( \mathbf{Z} \) Un vector \( \mathbf{A} \) es paralelo a otro vector \( \mathbf{B} \) si existe un escalar \( k \) tal que: \[ \mathbf{A} = k \mathbf{B} \] Dado el vector \( \mathbf{Z} = (3, 2, -5) \), para determinar si un vector \( \mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3) \) es paralelo a \( \mathbf{Z} \), debemos verificar si: \[ \frac{a_1}{3} = \frac{a_2}{2} = \frac{a_3}{-5} \] Si se cumple esta relación, entonces \( \mathbf{A} \) es paralelo a \( \mathbf{Z} \). Si tienes vectores específicos que deseas verificar, por favor proporciónalos y procederé a determinar si son paralelos a \( \mathbf{Z} \).