Determinar el domivio, rongo, asntota vortical, table de valor \( h(x)=2 \log _{3}(x+1) \)

**Dominio** Para la función \( h(x)=2 \log_{3}(x+1) \) la parte interna del logaritmo debe ser positiva, es decir: \[ x+1>0 \quad \Longrightarrow \quad x>-1. \] Por lo tanto, el dominio es: \[ \{x \in \mathbb{R} : x>-1\}. \] **Rango** La función logarítmica puede tomar cualquier valor real, multiplicada por 2 la función sigue extendiéndose sobre toda la recta real. Así que el rango es: \[ \mathbb{R}. \] **Asíntota Vertical** La asíntota vertical ocurre cuando el argumento del logaritmo tiende a cero, esto es cuando: \[ x+1\to 0^{+} \quad \Longrightarrow \quad x\to -1^{+}. \] Por lo tanto, la función tiene una asíntota vertical en: \[ x=-1. \] **Tabla de Valores** Para construir la tabla, elegimos valores en el dominio \( x>-1 \) que hagan el cálculo directo: | \( x \) | \( x+1 \) | \( h(x)=2\log_{3}(x+1) \) | |------------|-----------|-----------------------------------| | \(-\frac{8}{9} \approx -0.89\) | \(\frac{1}{9}\) | \(2\log_{3}\left(\frac{1}{9}\right)=2(-2)=-4\) | | \(-\frac{2}{3} \approx -0.67\) | \(\frac{1}{3}\) | \(2\log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)=2(-1)=-2\) | | \( 0 \) | \( 1 \) | \(2\log_{3}(1)=2(0)=0\) | | \( 2 \) | \( 3 \) | \(2\log_{3}(3)=2(1)=2\) | | \( 8 \) | \( 9 \) | \(2\log_{3}(9)=2(2)=4\) | Esta tabla refleja cómo varía \( h(x) \) para distintos valores de \( x \) dentro del dominio.