4 Verkürzt man bei einem rechteckigen Grund- stück die Grundstückslänge um 5 m und vergrößert die Grundstücksbreite um 3 m , nimmt der Flächenin- halt um \( 7 \mathrm{~m}^{2} \) ab. Verkürzt man die Grundstückslänge um 4 m und vergrößert die Grundstücksbreite um 5 m , nimmt der Flächeninhalt um \( 80 \mathrm{~m}^{2} \) zu. Bestim- me die ursprüngliche Breite und Länge des Grund- stücks.
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Um das Problem zu lösen, definieren wir die ursprüngliche Länge \( L \) und die ursprüngliche Breite \( B \) des Grundstücks. Aus der ersten Bedingung ergibt sich die Gleichung: \[ (L - 5)(B + 3) = LB - 7 \] Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen erhalten wir: \[ LB + 3L - 5B - 15 = LB - 7 \implies 3L - 5B = 8 \quad \text{(1)} \] Aus der zweiten Bedingung ergibt sich die zweite Gleichung: \[ (L - 4)(B + 5) = LB + 80 \] Auch hier durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \[ LB + 5L - 4B - 20 = LB + 80 \implies 5L - 4B = 100 \quad \text{(2)} \] Jetzt haben wir ein Gleichungssystem: 1. \( 3L - 5B = 8 \) 2. \( 5L - 4B = 100 \) Wir lösen diese Gleichungen, indem wir eine der beiden Variablen eliminieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 4 und die zweite mit 5, um die Koeffizienten von \( B \) gleich zu machen: \[ 12L - 20B = 32 \quad \text{(3)} \] \[ 25L - 20B = 500 \quad \text{(4)} \] Subtrahiere Gleichung (3) von (4): \[ (25L - 20B) - (12L - 20B) = 500 - 32 \] \[ 13L = 468 \implies L = 36 \] Setze \( L = 36 \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. (1): \[ 3(36) - 5B = 8 \implies 108 - 5B = 8 \] \[ 5B = 100 \implies B = 20 \] Daher beträgt die ursprüngliche Länge \( L = 36 \) m und die Breite \( B = 20 \) m.
