4 Verkürzt man bei einem rechteckigen Grund-
stück die Grundstückslänge um 5 m und vergrößert
die Grundstücksbreite um 3 m , nimmt der Flächenin-
halt um ab. Verkürzt man die Grundstückslänge
um 4 m und vergrößert die Grundstücksbreite um
5 m , nimmt der Flächeninhalt um zu. Bestim-
me die ursprüngliche Breite und Länge des Grund-
stücks.

Ask by Campbell Weber. in Germany

Mar 06,2025

Question

4 Verkürzt man bei einem rechteckigen Grund-
stück die Grundstückslänge um 5 m und vergrößert
die Grundstücksbreite um 3 m , nimmt der Flächenin-
halt um ab. Verkürzt man die Grundstückslänge
um 4 m und vergrößert die Grundstücksbreite um
5 m , nimmt der Flächeninhalt um zu. Bestim-
me die ursprüngliche Breite und Länge des Grund-
stücks.

Ask by Campbell Weber. in Germany

Mar 06,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Um die ursprüngliche Breite und Länge des Grundstücks zu bestimmen, können wir die gegebenen Informationen verwenden, um zwei Gleichungen aufzustellen.

Sei $$ L $$ die ursprüngliche Länge und $$ B $$ die ursprüngliche Breite des Grundstücks.

1. Wenn die Grundstückslänge um 5 m verkürzt und die Grundstücksbreite um 3 m vergrößert wird, nimmt der Flächeninhalt um $$ 7 \mathrm{~m}^{2} $$ ab. Dies kann wie folgt ausgedrückt werden:
$$ (L - 5)(B + 3) = LB - 7 $$

2. Wenn die Grundstückslänge um 4 m verkürzt und die Grundstücksbreite um 5 m vergrößert wird, nimmt der Flächeninhalt um $$ 80 \mathrm{~m}^{2} $$ zu. Dies kann wie folgt ausgedrückt werden:
$$ (L - 4)(B + 5) = LB + 80 $$

Jetzt können wir diese beiden Gleichungen lösen, um die ursprüngliche Breite und Länge des Grundstücks zu bestimmen.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}\left(L-5\right)\left(B+3\right)=LB-7\\left(L-4\right)\left(B+5\right)=LB+80\end{array}\right.$$
- step1: Solve the equation:
  $$\left\{ \begin{array}{l}B=\frac{-8+3L}{5}\\left(L-4\right)\left(B+5\right)=LB+80\end{array}\right.$$
- step2: Substitute the value of $$B:$$
  $$\left(L-4\right)\left(\frac{-8+3L}{5}+5\right)=L\times \frac{-8+3L}{5}+80$$
- step3: Simplify:
  $$\frac{\left(L-4\right)\left(17+3L\right)}{5}=\frac{L\left(-8+3L\right)}{5}+80$$
- step4: Multiply both sides of the equation by LCD:
  $$\frac{\left(L-4\right)\left(17+3L\right)}{5}\times 5=\left(\frac{L\left(-8+3L\right)}{5}+80\right)\times 5$$
- step5: Simplify the equation:
  $$5L+3L^{2}-68=-8L+3L^{2}+400$$
- step6: Cancel equal terms:
  $$5L-68=-8L+400$$
- step7: Move the expression to the left side:
  $$5L+8L=400+68$$
- step8: Add and subtract:
  $$13L=400+68$$
- step9: Add and subtract:
  $$13L=468$$
- step10: Divide both sides:
  $$\frac{13L}{13}=\frac{468}{13}$$
- step11: Divide the numbers:
  $$L=36$$
- step12: Substitute the value of $$L:$$
  $$B=\frac{-8+3\times 36}{5}$$
- step13: Calculate:
  $$B=20$$
- step14: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}B=20\L=36\end{array}\right.$$
- step15: Check the solution:
  $$\left\{ \begin{array}{l}B=20\L=36\end{array}\right.$$
- step16: Rewrite:
  $$\left(B,L\right) = \left(20,36\right)$$
Die Lösung der Gleichungssystem ist $$ (B,L) = (20,36) $$, was bedeutet, dass die ursprüngliche Breite des Grundstücks 20 m und die ursprüngliche Länge 36 m beträgt.
Die ursprüngliche Breite des Grundstücks beträgt 20 Meter, und die ursprüngliche Länge beträgt 36 Meter.

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