10. \( A M \) - медиана треугольника \( A B C \), площадь которого 120 cм \( ^{2} \). Точка \( E \) - середина медианы \( A M \). Луч \( B E \) пе- ресекает сторону \( A C \) в точке \( K \). Найдите площадь четы- рехугольника \( M E K C \).

Для решения задачи начнем с анализа известных условий. 1. У нас есть треугольник \( ABC \) с площадью \( S_{ABC} = 120 \, \text{см}^2 \). 2. \( AM \) - медиана треугольника \( ABC \), что означает, что точка \( M \) делит сторону \( BC \) пополам. 3. Точка \( E \) - середина медианы \( AM \). 4. Луч \( BE \) пересекает сторону \( AC \) в точке \( K \). Нам нужно найти площадь четырехугольника \( MEKC \). ### Шаг 1: Найдем площадь треугольника \( ABE \) Поскольку \( E \) - середина медианы \( AM \), то площадь треугольника \( ABE \) будет равна половине площади треугольника \( ABC \): \[ S_{ABE} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60 \, \text{см}^2 \] ### Шаг 2: Найдем площадь треугольника \( AEC \) Площадь треугольника \( AEC \) также будет равна половине площади треугольника \( ABC \): \[ S_{AEC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = 60 \, \text{см}^2 \] ### Шаг 3: Найдем площадь треугольника \( BEC \) Площадь треугольника \( BEC \) можно найти, вычитая площади треугольников \( ABE \) и \( AEC \) из площади треугольника \( ABC \): \[ S_{BEC} = S_{ABC} - S_{ABE} - S_{AEC} = 120 - 60 - 60 = 0 \, \text{см}^2 \] ### Шаг 4: Найдем площадь четырехугольника \( MEKC \) Площадь четырехугольника \( MEKC \) можно найти, используя площади треугольников \( AEC \) и \( BEC \). Поскольку \( E \) - середина \( AM \), то площадь \( MEK \) будет равна половине площади \( AEC \): \[ S_{MEK} = \frac{1}{2} S_{AEC} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \, \text{см}^2 \] Таким образом, площадь четырехугольника \( MEKC \) равна: \[ S_{MEKC} = S_{MEK} + S_{KEC} = 30 + 0 = 30 \, \text{см}^2 \] ### Ответ Площадь четырехугольника \( MEKC \) равна \( 30 \, \text{см}^2 \).