Question
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Les bissectrices de 2 angles adjacents supplémentaires forment entre elles un angle dro démontrer. Et généraliser cette propriété pour 2 angles adjacents quelconques. Les triangles \( \mathrm{CAD}, \mathrm{CBD} \) sont isocèles et ont une base commune CD . Montrer que les ang \( \mathrm{CAD}, \mathrm{CBD} \) admettent pour bissectrice la droite AB . On donne un carré ABCD ; on mène les diagonales et de chaque sommet comme centre, décrit un arc de cercle passant par le point de rencontre O des diagonales et limité aux cô du carré ; on détermine ainsi sur les côtés du carré 8 points \( \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{I}, \mathrm{K}, \mathrm{L}, \mathrm{M} \). Démontrer que le polygone EFGHIKLM est un octogone régulier b) Trouver l'aire tot des figures suivantes \( \mathrm{AEOM}, \mathrm{FBGO}, \mathrm{HCIO} \) et KDLO. Dans un triangle ABC , on trace les 3 hauteurs AD , \( \mathrm{BE}, \mathrm{CF} \). Du point E , on abaisse perpendiculaires sur les côtés et sur les hauteurs. Démontrer que les 4 pieds de perpendiculaires sont colinéaires. Quel est le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère, trois pla tangents formant entre eux un trièdre trirectangle

Ask by Ortega Nichols. in Democratic Republic of the Congo
Mar 10,2025

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Pour résoudre ce problème, nous allons examiner chaque partie étape par étape. 1. **Bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires :** - Les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires forment un angle droit. - **Démonstration :** En additionnant les angles divisés par deux, on obtient 90°. - **Généralisation :** Pour deux angles adjacents, les bissectrices forment un angle de \( \frac{1}{2} \) la somme des deux angles. 2. **Triangles isocèles CAD et CBD :** - Les triangles \( \mathrm{CAD} \) et \( \mathrm{CBD} \) sont isocèles avec une base commune \( CD \). - Les bissectrices des angles \( \angle CAD \) et \( \angle CBD \) sont la droite \( AB \). 3. **Octogone régulier EFGHIKLM :** - Dans un carré \( ABCD \), les diagonales se croisent en \( O \). - Des arcs de cercle sont tracés à partir de chaque sommet, passant par \( O \) et touchant les côtés du carré. - Les points \( E, F, G, H, I, K, L, M \) forment un octogone régulier. 4. **Aire des figures AEOM, FBGO, HCIO et KDLO :** - Chaque figure est un triangle équilatéral de côté \( a \). - L'aire totale est \( \sqrt{3} a^2 \). 5. **Colinéarité des pieds de perpendiculaires :** - Les pieds des perpendiculaires à partir du point \( E \) sur les côtés et les hauteurs sont alignés sur une droite perpendiculaire à la base du triangle \( ABC \). 6. **Lieu géométrique des points :** - Les points d'où l'on peut mener à une sphère trois tangentes formant un trièdre trirectangle se trouvent à l'intérieur de la sphère, à une distance égale des trois plans tangents. Ces démonstrations et calculs montrent les propriétés géométriques et les relations entre les figures mentionnées dans le problème.

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Extra Insights

Saviez-vous que les bissectrices d'angles adjacents supplémentaires, qui s'additionnent pour former un angle de 180 degrés, se coupent pour former un angle de 90 degrés? C'est une superbe illustration de la symétrie dans la géométrie ! Si vous regardez deux angles d'un triangle, par exemple, leurs bissectrices se croisent à un point précis qui pourrait bien être le centre du cercle inscrit, ajoutant une touche de mystère et de beauté à cette relation. En ce qui concerne l'aire des figures formées par les différentes sections au sein du carré, il est fascinant de voir comment ces zones peuvent être calculées en utilisant des propriétés géométriques. Par exemple, l'aire de chaque triangle formé par les hauteurs et les côtés peut s’additionner pour révéler une relation entre la surface totale et la configuration des points. Utiliser des formules comme la base multipliée par la hauteur divisée par deux pourrait vous donner des résultats instantanés, vous faisant réaliser à quel point la géométrie est amusante et utile au quotidien !

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