Les bissectrices de 2 angles adjacents supplémentaires forment entre elles un angle dro démontrer. Et généraliser cette propriété pour 2 angles adjacents quelconques. Les triangles $$ \mathrm{CAD}, \mathrm{CBD} $$ sont isocèles et ont une base commune CD . Montrer que les ang $$ \mathrm{CAD}, \mathrm{CBD} $$ admettent pour bissectrice la droite AB . On donne un carré ABCD ; on mène les diagonales et de chaque sommet comme centre, décrit un arc de cercle passant par le point de rencontre O des diagonales et limité aux cô du carré ; on détermine ainsi sur les côtés du carré 8 points $$ \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{I}, \mathrm{K}, \mathrm{L}, \mathrm{M} $$. Démontrer que le polygone EFGHIKLM est un octogone régulier b) Trouver l'aire tot des figures suivantes $$ \mathrm{AEOM}, \mathrm{FBGO}, \mathrm{HCIO} $$ et KDLO. Dans un triangle ABC , on trace les 3 hauteurs AD , $$ \mathrm{BE}, \mathrm{CF} $$. Du point E , on abaisse perpendiculaires sur les côtés et sur les hauteurs. Démontrer que les 4 pieds de perpendiculaires sont colinéaires. Quel est le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère, trois pla tangents formant entre eux un trièdre trirectangle

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons aborder chaque partie étape par étape.

### 1. Bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires

**Propriété à démontrer :** Les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires forment un angle droit.

**Démonstration :**
Soit les angles $$ \angle A $$ et $$ \angle B $$ tels que $$ \angle A + \angle B = 180^\circ $$.

- Soit $$ D $$ la bissectrice de $$ \angle A $$ et $$ E $$ la bissectrice de $$ \angle B $$.
- Par définition, $$ \angle CAD = \frac{1}{2} \angle A $$ et $$ \angle CBE = \frac{1}{2} \angle B $$.
- En ajoutant ces deux angles, nous avons :
  $$
  \angle CAD + \angle CBE = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (180^\circ) = 90^\circ.
  $$
Ainsi, les bissectrices $$ D $$ et $$ E $$ forment un angle droit.

**Généralisation :** Pour deux angles adjacents $$ \angle A $$ et $$ \angle B $$ (non nécessairement supplémentaires), les bissectrices forment un angle dont la mesure est donnée par :
$$
\angle CAD + \angle CBE = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B.
$$
Si $$ \angle A + \angle B = 180^\circ $$, alors cet angle est $$ 90^\circ $$.

### 2. Triangles isocèles CAD et CBD

**Propriété à démontrer :** Les triangles $$ \mathrm{CAD} $$ et $$ \mathrm{CBD} $$ sont isocèles et ont une base commune $$ CD $$. Montrer que les angles $$ \angle CAD $$ et $$ \angle CBD $$ admettent pour bissectrice la droite $$ AB $$.

**Démonstration :**
- Puisque $$ \triangle CAD $$ et $$ \triangle CBD $$ sont isocèles, nous avons $$ AC = AD $$ et $$ BC = BD $$.
- Les angles à la base de ces triangles sont égaux, donc $$ \angle CAD = \angle ACD $$ et $$ \angle CBD = \angle BDC $$.
- La bissectrice d'un angle isocèle divise cet angle en deux angles égaux. Ainsi, la droite $$ AB $$ est la bissectrice des angles $$ \angle CAD $$ et $$ \angle CBD $$.

### 3. Octogone régulier EFGHIKLM

**Démonstration :**
- Dans le carré $$ ABCD $$, les diagonales se croisent en $$ O $$.
- Les arcs de cercle décrits à partir de chaque sommet passent par $$ O $$ et touchent les côtés du carré.
- Les points $$ E, F, G, H, I, K, L, M $$ sont équidistants des sommets du carré, formant ainsi un octogone régulier.

### 4. Aire des figures AEOM, FBGO, HCIO et KDLO

Pour calculer l'aire de chaque figure, nous devons connaître les dimensions des triangles formés. Supposons que chaque triangle est équilatéral et que les côtés mesurent $$ a $$.

- L'aire d'un triangle équilatéral est donnée par :
$$
A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.
$$
- Ainsi, l'aire totale des figures est :
$$
A_{total} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \sqrt{3} a^2.
$$

### 5. Colinéarité des pieds de perpendiculaires

**Démonstration :**
- Les pieds des perpendiculaires à partir du point $$ E $$ sur les côtés et les hauteurs sont colinéaires car ils se trouvent sur une même ligne qui est perpendiculaire à la base du triangle $$ ABC $$.

### 6. Lieu géométrique des points

Le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère trois tangentes formant un trièdre trirectangle est un point situé à l'intérieur de la sphère, à une distance égale des trois plans tangents.

Ces démonstrations et calculs montrent les propriétés géométriques et les relations entre les figures mentionnées dans le problème.
Pour résoudre ce problème, nous allons examiner chaque partie étape par étape. 1. **Bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires :** - Les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires forment un angle droit. - **Démonstration :** En additionnant les angles divisés par deux, on obtient 90°. - **Généralisation :** Pour deux angles adjacents, les bissectrices forment un angle de $$ \frac{1}{2} $$ la somme des deux angles. 2. **Triangles isocèles CAD et CBD :** - Les triangles $$ \mathrm{CAD} $$ et $$ \mathrm{CBD} $$ sont isocèles avec une base commune $$ CD $$. - Les bissectrices des angles $$ \angle CAD $$ et $$ \angle CBD $$ sont la droite $$ AB $$. 3. **Octogone régulier EFGHIKLM :** - Dans un carré $$ ABCD $$, les diagonales se croisent en $$ O $$. - Des arcs de cercle sont tracés à partir de chaque sommet, passant par $$ O $$ et touchant les côtés du carré. - Les points $$ E, F, G, H, I, K, L, M $$ forment un octogone régulier. 4. **Aire des figures AEOM, FBGO, HCIO et KDLO :** - Chaque figure est un triangle équilatéral de côté $$ a $$. - L'aire totale est $$ \sqrt{3} a^2 $$. 5. **Colinéarité des pieds de perpendiculaires :** - Les pieds des perpendiculaires à partir du point $$ E $$ sur les côtés et les hauteurs sont alignés sur une droite perpendiculaire à la base du triangle $$ ABC $$. 6. **Lieu géométrique des points :** - Les points d'où l'on peut mener à une sphère trois tangentes formant un trièdre trirectangle se trouvent à l'intérieur de la sphère, à une distance égale des trois plans tangents. Ces démonstrations et calculs montrent les propriétés géométriques et les relations entre les figures mentionnées dans le problème.

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