Se define \( 3^{a} \) * \( 2 b=\sqrt{a}-\sqrt{b} \) Hallar el valor de: \( \left(81^{*} 2\right)^{\left(27^{*} 6\right)} \)

Para resolver la expresión dada, primero emplearemos la definición de \( a^{*} b \) que se establece como \( 3^{a} \cdot 2b = \sqrt{a} - \sqrt{b} \). 1. Calculemos \( 81^{*} 2 \): - Aquí, \( 81 = 3^{4} \) (ya que \( 81 = 3^4 \)), por lo que \( a = 4 \) y \( b = 2 \). - Entonces, aplicamos la definición: \[ 3^{4} \cdot 2 \cdot 2 = \sqrt{4} - \sqrt{2} \] - Esto se traduce a: \[ 81 \cdot 2 = 2 + 3 \sqrt{2} \] - Simplificando, tenemos: \[ 3^{4} \cdot 4 = 2 - \sqrt{2} \] - Esto implica que \( 2 \cdot 4 \cdot 2 = -\sqrt{2}+4 = 4-\sqrt{2} \). 2. Proseguimos con \( 27^{*} 6 \): - Aquí, \( 27 = 3^{3} \), así que \( a = 3 \) y \( b = 6 \). - Aplicamos nuevamente la definición: \[ 3^{3} \cdot 2 \cdot 6 = \sqrt{3} - \sqrt{6} \] - Esto se traduce a: \[ 27 \cdot 6 = 6 \] - En este caso, podemos resolver: \[ 6 - 4 = 2-\sqrt{6} \] 3. Finalmente, sustituimos estos valores en \( \left(81^{*} 2\right)^{\left(27^{*} 6\right)} \): - Es fácil ver que: \[ (4-\sqrt{2})^{(2-\sqrt{6})} \] - Esto presenta un resultado complejo. La simplificación nos permitirá encontrar el resultado. Sin embargo, ya que por los argumentos anteriores es un resultado aplicado, podemos resolver: El resultado es complejo de evaluar en su forma sin calculadora, pero el camino sería \( (4-\sqrt{2})^{(2-\sqrt{6})} \) que es el resultado del planteamiento.