Dada la fórmula recursiva \( b_n = 2b_{n-1} - 4 \) y \( b_1 = 5 \), encuentra su fórmula explícita.

Para resolver la recurrencia lineal \( b_n = 2b_{n-1} - 4 \) con la condición inicial \( b_1 = 5 \), seguimos los siguientes pasos: 1. **Ecuación Homogénea:** Primero consideramos la parte homogénea de la recurrencia: \[ b_n^{\text{hom}} = 2b_{n-1}^{\text{hom}} \] La solución general de esta ecuación es: \[ b_n^{\text{hom}} = A \cdot 2^n \] donde \( A \) es una constante a determinar. 2. **Solución Particular:** Buscamos una solución particular \( b_n^{\text{part}} \) de la forma constante \( C \). Sustituyendo en la recurrencia: \[ C = 2C - 4 \implies C = 4 \] 3. **Solución General:** La solución general de la recurrencia es la suma de la solución homogénea y la solución particular: \[ b_n = A \cdot 2^n + 4 \] 4. **Determinar la Constante \( A \):** Aplicamos la condición inicial \( b_1 = 5 \): \[ 5 = A \cdot 2^1 + 4 \implies 5 = 2A + 4 \implies 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2} \] 5. **Fórmula Explícita:** Sustituyendo el valor de \( A \) en la solución general: \[ b_n = \frac{1}{2} \cdot 2^n + 4 = 2^{n-1} + 4 \] **Por lo tanto, la fórmula explícita es:** \[ b_n = 2^{n-1} + 4 \]