Pregunta

Dada la fórmula recursiva \( b_n = 2b_{n-1} - 4 \) y \( b_1 = 5 \), encuentra su fórmula explícita.

Ask by Clarke Curry. in Colombia
Jan 10,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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La fórmula explícita para la secuencia es \( b_n = 2^{n-1} + 4 \).

Solución

Para resolver la recurrencia lineal \( b_n = 2b_{n-1} - 4 \) con la condición inicial \( b_1 = 5 \), seguimos los siguientes pasos: 1. **Ecuación Homogénea:** Primero consideramos la parte homogénea de la recurrencia: \[ b_n^{\text{hom}} = 2b_{n-1}^{\text{hom}} \] La solución general de esta ecuación es: \[ b_n^{\text{hom}} = A \cdot 2^n \] donde \( A \) es una constante a determinar. 2. **Solución Particular:** Buscamos una solución particular \( b_n^{\text{part}} \) de la forma constante \( C \). Sustituyendo en la recurrencia: \[ C = 2C - 4 \implies C = 4 \] 3. **Solución General:** La solución general de la recurrencia es la suma de la solución homogénea y la solución particular: \[ b_n = A \cdot 2^n + 4 \] 4. **Determinar la Constante \( A \):** Aplicamos la condición inicial \( b_1 = 5 \): \[ 5 = A \cdot 2^1 + 4 \implies 5 = 2A + 4 \implies 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2} \] 5. **Fórmula Explícita:** Sustituyendo el valor de \( A \) en la solución general: \[ b_n = \frac{1}{2} \cdot 2^n + 4 = 2^{n-1} + 4 \] **Por lo tanto, la fórmula explícita es:** \[ b_n = 2^{n-1} + 4 \]

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Bonus Knowledge

Para encontrar la fórmula explícita de la secuencia dada, primero podemos resolver la relación de recurrencia. Comenzamos expandiendo algunos términos: 1. \( b_1 = 5 \) 2. \( b_2 = 2b_1 - 4 = 2 \cdot 5 - 4 = 6 \) 3. \( b_3 = 2b_2 - 4 = 2 \cdot 6 - 4 = 8 \) 4. \( b_4 = 2b_3 - 4 = 2 \cdot 8 - 4 = 12 \) Observando estos términos, podemos notar una tendencia. Para derivar la fórmula explícita, podemos reformular la relación de recurrencia como: \[ b_n + 4 = 2(b_{n-1} + 4) \] Definimos \( c_n = b_n + 4 \), lo que nos da la relación: \[ c_n = 2c_{n-1} \] Dado que \( b_1 = 5 \), lo que implica \( c_1 = 9 \). Ahora observamos que \( c_n \) es una relación geométrica: \[ c_n = 9 \cdot 2^{n-1} \] Sustituyendo de nuevo para \( b_n \): \[ b_n = c_n - 4 = 9 \cdot 2^{n-1} - 4 \] Por lo tanto, la fórmula explícita es: \[ b_n = 9 \cdot 2^{n-1} - 4 \]

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