En un proceso se ha determinado el ingreso marginal esta determinado por $$ R^{\prime}(q)=16-12 q-3 q^{\wedge} 2 $$ Determine la función de ingreso total y la función de la demanda cuando $$ q $$ es 10 .

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Dada la función de ingreso marginal

R′(q) = 16 – 12q – 3q²

podemos encontrar la función de ingreso total R(q) integrando respecto de q.

1. Función de Ingreso Total

Integramos R′(q):

R(q) = ∫[16 – 12q – 3q²] dq

Realizando la integración término a término:

∫16 dq = 16q  
  ∫12q dq = 12 · (q²/2) = 6q²  
  ∫3q² dq = 3 · (q³/3) = q³

Por lo que:

R(q) = 16q – 6q² – q³ + C

Si suponemos que no hay ingreso cuando no se venden unidades (es decir, R(0) = 0), entonces:

R(0) = 16·0 – 6·0² – 0³ + C = 0 ⟹ C = 0

De modo que la función de ingreso total es:

R(q) = 16q – 6q² – q³

2. Función de Demanda (Precio)

Recordemos que el ingreso total se puede escribir como

R(q) = p(q) · q

despejamos p(q):

p(q) = R(q) / q  (porque en q = 0 la función se define por continuidad o por el comportamiento del mercado)

Sustituyendo R(q):

p(q) = (16q – 6q² – q³) / q = 16 – 6q – q²  ,  para q > 0

Por lo tanto la función de demanda (o función de precio) es:

p(q) = 16 – 6q – q²

3. Evaluación en q = 10

Calculamos primero el ingreso total cuando q = 10:

R(10) = 16·10 – 6·10² – 10³  
      = 160 – 600 – 1000  
      = –1440

Luego, la función de demanda evaluada en q = 10 es:

p(10) = 16 – 6·10 – 10²  
      = 16 – 60 – 100  
      = –144

Observa que tanto el ingreso marginal como la función de demanda al evaluarlas en q = 10 dan valores negativos (R(10) = –1440 y p(10)= –144). Esto podría interpretarse, por ejemplo, en un contexto en el que la cantidad producida excede el nivel de saturación o de equilibrio del mercado, resultando en un precio negativo (a efectos teóricos) o en la necesidad de replantear el modelo para ese rango de q.

Resumiendo:

• Función de ingreso total: R(q) = 16q – 6q² – q³  
• Función de demanda (precio): p(q) = 16 – 6q – q²  
• Cuando q = 10: R(10) = –1440 y p(10) = –144.
La función de ingreso total es $$ R(q) = 16q - 6q² - q³ $$ y la función de demanda es $$ p(q) = 16 - 6q - q² $$. Cuando $$ q = 10 $$, el ingreso total es –1440 y el precio es –144.

En un proceso se ha determinado el ingreso marginal esta determinado por \( R^{\prime}(q)=16-12 q-3 q^{\wedge} 2 \) Determine la función de ingreso total y la función de la demanda cuando \( q \) es 10 .

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