En un proceso se ha determinado el ingreso marginal esta determinado por \( R^{\prime}(q)=16-12 q-3 q^{\wedge} 2 \) Determine la función de ingreso total y la función de la demanda cuando \( q \) es 10 .

Dada la función de ingreso marginal   R′(q) = 16 – 12q – 3q² podemos encontrar la función de ingreso total R(q) integrando respecto de q. 1. Función de Ingreso Total Integramos R′(q):   R(q) = ∫[16 – 12q – 3q²] dq Realizando la integración término a término:   ∫16 dq = 16q   ∫12q dq = 12 · (q²/2) = 6q²   ∫3q² dq = 3 · (q³/3) = q³ Por lo que:   R(q) = 16q – 6q² – q³ + C Si suponemos que no hay ingreso cuando no se venden unidades (es decir, R(0) = 0), entonces:   R(0) = 16·0 – 6·0² – 0³ + C = 0 ⟹ C = 0 De modo que la función de ingreso total es:   R(q) = 16q – 6q² – q³ 2. Función de Demanda (Precio) Recordemos que el ingreso total se puede escribir como   R(q) = p(q) · q despejamos p(q):   p(q) = R(q) / q  (porque en q = 0 la función se define por continuidad o por el comportamiento del mercado) Sustituyendo R(q):   p(q) = (16q – 6q² – q³) / q = 16 – 6q – q²  ,  para q > 0 Por lo tanto la función de demanda (o función de precio) es:   p(q) = 16 – 6q – q² 3. Evaluación en q = 10 Calculamos primero el ingreso total cuando q = 10:   R(10) = 16·10 – 6·10² – 10³       = 160 – 600 – 1000       = –1440 Luego, la función de demanda evaluada en q = 10 es:   p(10) = 16 – 6·10 – 10²       = 16 – 60 – 100       = –144 Observa que tanto el ingreso marginal como la función de demanda al evaluarlas en q = 10 dan valores negativos (R(10) = –1440 y p(10)= –144). Esto podría interpretarse, por ejemplo, en un contexto en el que la cantidad producida excede el nivel de saturación o de equilibrio del mercado, resultando en un precio negativo (a efectos teóricos) o en la necesidad de replantear el modelo para ese rango de q. Resumiendo: • Función de ingreso total: R(q) = 16q – 6q² – q³ • Función de demanda (precio): p(q) = 16 – 6q – q² • Cuando q = 10: R(10) = –1440 y p(10) = –144.