Calcular los máximos y los mínimos de la función siguiente: $$ \begin{array}{l}y=4 x^{3}+15 x^{2}-18 x+6\end{array} $$

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Sean $$ y = 4x^3 + 15x^2 - 18x + 6 $$.

1. Calcular la derivada de $$ y $$:

$$
y' = \frac{d}{dx}(4x^3 + 15x^2 - 18x + 6) = 12x^2 + 30x - 18.
$$

2. Encontrar los puntos críticos, es decir, resolver

$$
12x^2 + 30x - 18 = 0.
$$

Dividimos la ecuación entre $$ 6 $$ para simplificar:

$$
2x^2 + 5x - 3 = 0.
$$

Utilizamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática:

$$
x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4}.
$$

Como $$\sqrt{49} = 7$$, se tienen:

$$
x = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \quad \text{y} \quad x = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3.
$$

3. Determinar la naturaleza de los puntos críticos usando la segunda derivada:

La segunda derivada es

$$
y'' = \frac{d}{dx}(12x^2 + 30x - 18) = 24x + 30.
$$

- Evaluamos en $$x = -3$$:

$$
y''(-3) = 24(-3) + 30 = -72 + 30 = -42.
$$
Como $$y''(-3) < 0$$, la función tiene un máximo local en $$x = -3$$.

- Evaluamos en $$x = 0.5$$:

$$
y''(0.5) = 24(0.5) + 30 = 12 + 30 = 42.
$$
Como $$y''(0.5) > 0$$, la función tiene un mínimo local en $$x = 0.5$$.

4. Calcular los valores de $$y$$ en los puntos críticos:

- Para $$x = -3$$:

$$
y(-3) = 4(-3)^3 + 15(-3)^2 - 18(-3) + 6.
$$

Calculamos cada término:

$$
4(-3)^3 = 4(-27) = -108,
$$
$$
15(-3)^2 = 15(9) = 135,
$$
$$
-18(-3) = 54.
$$

Entonces,

$$
y(-3) = -108 + 135 + 54 + 6 = 87.
$$

- Para $$x = 0.5$$:

$$
y(0.5) = 4(0.5)^3 + 15(0.5)^2 - 18(0.5) + 6.
$$

Calculamos cada término:

$$
4(0.5)^3 = 4(0.125) = 0.5,
$$
$$
15(0.5)^2 = 15(0.25) = 3.75,
$$
$$
-18(0.5) = -9.
$$

Entonces,

$$
y(0.5) = 0.5 + 3.75 - 9 + 6 = 1.25.
$$

5. Conclusión:

- Máximo local en $$\left(-3, 87\right)$$.
- Mínimo local en $$\left(0.5, 1.25\right)$$.
La función $$ y = 4x^3 + 15x^2 - 18x + 6 $$ tiene un máximo local en $$ x = -3 $$ con $$ y = 87 $$ y un mínimo local en $$ x = 0.5 $$ con $$ y = 1.25 $$.

Calcular los máximos y los mínimos de la función siguiente: \[ \begin{array}{l}y=4 x^{3}+15 x^{2}-18 x+6\end{array} \]

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