\( \int\left(4 x^{3}-3 x+2\right) d x \) dado \( f(-2)=-20 \)

Para resolver la integral \( \int\left(4 x^{3}-3 x+2\right) d x \), aplicamos la regla de la integral indefinida. La integral se calcula como: \[ \int (4x^3) dx = x^4 + C_1 \] \[ \int (-3x) dx = -\frac{3}{2}x^2 + C_2 \] \[ \int 2 dx = 2x + C_3 \] Sumando estos resultados, obtenemos: \[ \int\left(4 x^{3}-3 x+2\right)dx = x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \] Ahora, se nos da que \( f(-2) = -20 \). Para determinar \( C \), sustituimos \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^4 - \frac{3}{2}(-2)^2 + 2(-2) + C \] \[ = 16 - \frac{3}{2}(4) - 4 + C \] \[ = 16 - 6 - 4 + C = 6 + C \] Dado que \( f(-2) = -20 \): \[ 6 + C = -20 \Rightarrow C = -26 \] Por lo tanto, la función \( f(x) \) es: \[ f(x) = x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x - 26 \] Adentrándonos un poco en el contexto de la integración indefinida, hay que mencionar que se trata de la operación inversa de la diferenciación. En esencia, cuando integramos una función, estamos encontrando todas las posibles funciones primitiva que podrían haber dado origen a esa tasa de cambio (es decir, la derivada). Por eso es tan común agregar una constante \( C \), ya que múltiples funciones pueden diferenciarse para dar la misma respuesta. Un consejo práctico al trabajar con integrales es revisar las propiedades de las funciones polinómicas: la regla general para integrar \( x^n \) es \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \), lo cual es fundamental para evitar errores comunes. Además, es útil ser metódico y comprobar los cálculos en cada fase. ¡Nunca está de más hacer un repaso, y podrías descubrir un descuido antes de llegar a la conclusión final!