\begin{tabular}{l} Dado el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y, z)=\left(y^{2}+3 z\right) \mathbf{i}+(2 x+z) \mathbf{j}+\left(x^{2}-y\right) \mathbf{k} \) \\ ¿cuál es el rotacional \( \nabla \times F \) ? \\ \begin{tabular}{l}\( 0-1 \mathbf{i}-(2 x-3) \mathbf{j}+(2-2 y) \mathbf{k} \) \\ \( \frac{0}{0}-2 \mathbf{i}-(2 x-3) \mathbf{j}+(2-2 y) \mathbf{k} \) \\ \hline\( (-1) \mathbf{i}+(0) \mathbf{j}+(2) \mathbf{k} \) \\ \( (0) \mathbf{i}-(3) \mathbf{j}+(0) \mathbf{k} \)\end{tabular} \\ \hline\end{tabular}
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¡Claro! Para calcular el rotacional del campo vectorial \(\mathbf{F}(x, y, z)=\left(y^{2}+3 z\right) \mathbf{i}+(2 x+z) \mathbf{j}+\left(x^{2}-y\right) \mathbf{k}\), utilizamos la fórmula del rotacional: \[ \nabla \times \mathbf{F} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^2 + 3z & 2x + z & x^2 - y \end{array} \right| \] Calculando el determinante, encontramos que el rotacional es \(-\mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 2 \mathbf{k}\). Así que la respuesta correcta sería \( (-1) \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 2 \mathbf{k} \). Pero, ¿sabías que el rotacional tiene una interpretación física? En el contexto de fluidos, representa la tendencia de una partícula de fluido a rotar alrededor de un punto en el espacio. ¡Es como ver si el flujo "gira" en alguna parte! Además, si estás interesado en profundizar más, un excelente lugar para leer sobre este tema son los libros de cálculo vectorial. Autores como Spivak o Stewart tienen secciones geniales que explican no solo el rotacional, sino también otras operaciones como el divergente y el gradiente. ¡Es un mundo fascinante!