$$ \int _{}^{}\frac{\cos (2x)}{1+\cos (x)+\sin (x)} d x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لحساب التكامل:

$$
\int \frac{\cos(2x)}{1 + \cos(x) + \sin(x)} \, dx
$$

نتبع الخطوات التالية:

1. **التعويض**:
   
   نحدد $$ u = 1 + \sin(x) + \cos(x) $$.

2. **إيجاد المشتقة**:
   
   نحسب المشتقة بالنسبة لـ $$ x $$:
   $$
   \frac{du}{dx} = \cos(x) - \sin(x)
   $$

3. **إعادة كتابة البسط**:
   
   نعلم أن:
   $$
   \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) + \sin(x))(\cos(x) - \sin(x))
   $$
   
   بذلك يصبح البسط:
   $$
   \cos(2x) = (\cos(x) + \sin(x)) \cdot \frac{du}{dx}
   $$

4. **استبدال المتغيرات**:
   
   يصبح التكامل:
   $$
   \int \frac{(\cos(x) + \sin(x)) \cdot \frac{du}{dx}}{u} \, dx = \int \frac{u - 1}{u} \, du = \int 1 \, du - \int \frac{1}{u} \, du
   $$

5. **حساب التكامل**:
   
   نحصل على:
   $$
   u - \ln|u| + C
   $$
   
   حيث $$ C $$ هو ثابت التكامل.

6. **إرجاع المتغير الأصلي**:
   
   نعود للمتغير $$ x $$:
   $$
   1 + \sin(x) + \cos(x) - \ln|1 + \sin(x) + \cos(x)| + C
   $$

**النتيجة النهائية للتكامل هي**:

$$
\int \frac{\cos(2x)}{1 + \cos(x) + \sin(x)} \, dx = 1 + \sin(x) + \cos(x) - \ln|1 + \sin(x) + \cos(x)| + C
$$

حيث $$ C $$ هو ثابت التكامل.
التكامل النهائي هو: $$ 1 + \sin(x) + \cos(x) - \ln|1 + \sin(x) + \cos(x)| + C $$ حيث $$ C $$ هو ثابت التكامل.

\( \int _{}^{}\frac{\cos (2x)}{1+\cos (x)+\sin (x)} d x \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Calculus Questions