(4) Dans un repère orthonorm les points $$ A(-4 ; 1), \vec{B}(-1 ; 2) $$ et a) (1) $$ \overrightarrow{A B}(-3 ;-1) $$ et $$ \overrightarrow{A C}(5 ;-3) $$ (2) $$ \overrightarrow{A B}(3 ; 1) $$ et $$ \overrightarrow{A C}(5 ;-3) $$ (3) $$ \overrightarrow{A B}(3 ; 1) $$ et $$ \overrightarrow{A C}(5 ;-5) $$ b) (1) $$ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-20 $$ (2) $$ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=10 $$ (3) $$ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-22 $$

Question

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Soit les points $$ A(-4 ; 1) $$ et $$ B(-1 ; 2) $$.

1. Calcul du vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ :

$$
   \overrightarrow{AB} = B - A = \bigl(-1 - (-4) ;\; 2 - 1\bigr) = (3 ; 1)
   $$

Ainsi, le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ est $$(3 ; 1)$$. On élimine donc l’option (a)(1) qui propose $$(-3 ; -1)$$.

2. Les propositions en (a) comportant le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ sont alors :
   - Option (a)(2) : $$\overrightarrow{AB}=(3 ; 1)$$ et $$\overrightarrow{AC}=(5 ; -3)$$
   - Option (a)(3) : $$\overrightarrow{AB}=(3 ; 1)$$ et $$\overrightarrow{AC}=(5 ; -5)$$

3. Pour vérifier la cohérence avec la question (b), calculons le produit scalaire $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$ dans les deux cas.

- Avec $$\overrightarrow{AC}=(5 ; -3)$$ (option (a)(2)) :

$$
     \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3 \times 5 + 1 \times (-3) = 15 - 3 = 12.
     $$

Or, les options de (b) proposées sont : $$-20$$, $$10$$ et $$-22$$. $$12$$ ne figure pas.

- Avec $$\overrightarrow{AC}=(5 ; -5)$$ (option (a)(3)) :

$$
     \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3 \times 5 + 1 \times (-5) = 15 - 5 = 10.
     $$

$$10$$ correspond à l’option (b)(2).

4. Conclusion :

- En (a), l’option (3) est la bonne, avec :
     
     $$\overrightarrow{AB}=(3 ; 1)$$ et $$\overrightarrow{AC}=(5 ; -5)$$.

- En (b), le produit scalaire est :

$$
     \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 10.
     $$

Ainsi, la réponse correcte est l’option (a)(3) et l’option (b)(2).
Les vecteurs corrects sont $$\overrightarrow{AB} = (3 ; 1)$$ et $$\overrightarrow{AC} = (5 ; -5)$$. Le produit scalaire $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$ vaut $$10$$.

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