3. Transformar la siguiente ecuación paramétrica a la forma rectangular. \( C(x ; y)\left\{\begin{array}{c}\boldsymbol{x}=\frac{2 t+2}{\boldsymbol{t}-1} \\ \boldsymbol{y}=\frac{\sqrt{2 t^{2}-4 t-6}}{t-1}\end{array}\right. \)

Para transformar la ecuación paramétrica a la forma rectangular, primero vamos a despejar \( t \) en términos de \( x \) y luego sustituirlo en la ecuación de \( y \). De la ecuación de \( x \): \[ x(t - 1) = 2t + 2 \implies xt - x = 2t + 2 \implies xt - 2t = x + 2 \] \[ t(x - 2) = x + 2 \implies t = \frac{x + 2}{x - 2} \] Ahora, sustituimos \( t \) en la ecuación de \( y \): \[ y = \frac{\sqrt{2 \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^2 - 4\left(\frac{x + 2}{x - 2}\right) - 6}}{\frac{x + 2}{x - 2}-1} \] Simplificando, se puede llegar a una forma más sencilla que relaciona \( x \) y \( y \) sin el parámetro, logrando la forma rectangular.