\( 9 U \) is het vlak \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ x\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \) en \( V \) is het vlak \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+e\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+\tau\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) \) a. Toon aan dat \( U \) en \( V \) evenwijdige vlakken zjin door te later dat ze eenzelfde normaalvector hebben. b. Bereken de afstand van \( U \) en \( V \).

We bepalen eerst voor beide vlakken een normaalvector en laten zien dat deze gelijk (of evenredig) is. **Stap 1: Normaalvector voor \( U \)** Het vlak \( U \) wordt gegeven door \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}. \] De richtingsvectoren zijn dus \[ \mathbf{u}_1 = (1,1,0) \quad \text{en} \quad \mathbf{u}_2 = (0,1,2). \] Een normaalvector \( \mathbf{n}_U \) op \( U \) verkrijgen we door het kruisproduct: \[ \mathbf{n}_U = \mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2. \] Berekening: \[ \mathbf{n}_U = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 - 0\cdot1 \\ 0\cdot0 - 1\cdot2 \\ 1\cdot1 - 1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}. \] **Stap 2: Normaalvector voor \( V \)** Het vlak \( V \) wordt gegeven door \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + e \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \tau \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}. \] De richtingsvectoren zijn: \[ \mathbf{v}_1 = (1,0,-2) \quad \text{en} \quad \mathbf{v}_2 = (1,2,2). \] De normaalvector \( \mathbf{n}_V \) op \( V \) is dan \[ \mathbf{n}_V = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2. \] Berekening: \[ \mathbf{n}_V = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot2 - (-2)\cdot2 \\ -2\cdot1 - 1\cdot2 \\ 1\cdot2 - 0\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}. \] Merk op dat \[ \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}. \] Dus de normaalvector \( \mathbf{n}_V \) is evenredig met \( \mathbf{n}_U \). **Conclusie deel a:** Aangezien beide vlakken een normaalvector hebben die evenredig is, zijn de vlakken evenwijdig. --- **Stap 3: Afstand tussen \( U \) en \( V \)** Omdat de vlakken evenwijdig zijn, is de afstand te berekenen met behulp van de afstandsformule tussen parallelle vlakken. Laten we eerst de vergelijking van \( U \) opstellen. Aangezien \( U \) door de oorsprong gaat en de normaalvector \( \mathbf{n}_U = (2,-2,1) \) heeft, luidt de vergelijking van \( U \): \[ 2x - 2y + z = 0. \] Voor \( V \) gebruiken we hetzelfde normaalvector. Kies het punt \( (4,2,1) \) op \( V \) en stel: \[ 2\cdot4 - 2\cdot2 + 1\cdot1 = 8 - 4 + 1 = 5. \] Dus is de vergelijking van \( V \): \[ 2x - 2y + z = 5. \] De afstand \( d \) tussen de vlakken wordt gegeven door: \[ d = \frac{|d_V - d_U|}{\|\mathbf{n}\|}, \] waarbij \( d_U = 0 \) en \( d_V = 5 \), en de norm van \( \mathbf{n} = (2, -2, 1) \) is: \[ \|\mathbf{n}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3. \] Dus: \[ d = \frac{|5 - 0|}{3} = \frac{5}{3}. \] **Conclusie deel b:** De afstand tussen \( U \) en \( V \) is \( \frac{5}{3} \).