2. Resuelva la ecuación diferencial no exacta, encontrando un factor integrante adecuado. \[ \cos x d x+\left(1+\frac{2}{y}\right) \operatorname{sen} x d y=0 \]

Para resolver la ecuación diferencial no exacta dada: \[ \cos x \, dx + \left(1 + \frac{2}{y}\right) \sin x \, dy = 0 \] primero identificamos las funciones \( M(x, y) \) y \( N(x, y) \): - \( M(x, y) = \cos x \) - \( N(x, y) = \left(1 + \frac{2}{y}\right) \sin x \) A continuación, verificamos si la ecuación es exacta calculando las derivadas parciales: 1. \( \frac{\partial M}{\partial y} = 0 \) 2. \( \frac{\partial N}{\partial x} = \left(1 + \frac{2}{y}\right) \cos x \) Dado que \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación no es exacta. Para encontrar un factor integrante, buscamos un factor que dependa solo de \( y \) o solo de \( x \). ### Paso 1: Factor integrante que depende de \( y \) Usamos la fórmula para un factor integrante que depende de \( y \): \[ \mu(y) = e^{\int \frac{M_y - N_x}{N} \, dy} \] donde: - \( M_y = 0 \) - \( N_x = \left(1 + \frac{2}{y}\right) \cos x \) Calculamos \( M_y - N_x \): \[ M_y - N_x = 0 - \left(1 + \frac{2}{y}\right) \cos x = -\left(1 + \frac{2}{y}\right) \cos x \] Ahora, calculamos \( \frac{M_y - N_x}{N} \): \[ \frac{M_y - N_x}{N} = \frac{-\left(1 + \frac{2}{y}\right) \cos x}{\left(1 + \frac{2}{y}\right) \sin x} = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\cot x \] ### Paso 2: Integrar para encontrar el factor integrante Ahora integramos: \[ \mu(y) = e^{\int -\cot x \, dy} = e^{-y \cot x} \] Sin embargo, este enfoque no es correcto, ya que el factor integrante debe ser una función de \( y \) que simplifique la ecuación. En este caso, probamos con un factor integrante que depende de \( y \): \[ \mu(y) = y^2 \] ### Paso 3: Multiplicar la ecuación por el factor integrante Multiplicamos toda la ecuación por \( y^2 \): \[ y^2 \cos x \, dx + y^2 \left(1 + \frac{2}{y}\right) \sin x \, dy = 0 \] Esto se simplifica a: \[ y^2 \cos x \, dx + (y^2 + 2y) \sin x \, dy = 0 \] ### Paso 4: Verificar si es exacta Ahora, definimos: - \( M(x, y) = y^2 \cos x \) - \( N(x, y) = (y^2 + 2y) \sin x \) Calculamos las derivadas parciales: 1. \( \frac{\partial M}{\partial y} = 2y \cos x \) 2. \( \frac{\partial N}{\partial x} = (y^2 + 2y) \cos x \) Dado que \( \frac{\partial M}{\partial y} = 2y \cos x \) y \( \frac{\partial N}{\partial x} = (y^2 + 2y) \cos x \), la ecuación sigue siendo no exacta. ### Paso 5: Encontrar un nuevo factor integrante Probamos con un factor integrante que depende de \( x \): \[ \mu(x) = \frac{1}{\cos x} \] Multiplicamos la ecuación original por \( \frac{1}{\cos x} \): \[ dx + \left(1 + \frac{2}{y}\right) \tan x \, dy = 0 \] ### Paso 6: Verificar si es exacta Definimos: - \( M(x, y) = 1 \) - \( N(x, y) = \left(1 + \frac{2}{y}\right) \tan x \) Calculamos las derivadas parciales: 1. \( \frac{\partial M}{\partial y} = 0 \) 2. \( \frac{\partial N}{\partial x} = \left(1 + \frac{2}{y}\right) \sec^2 x \) Dado que \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación sigue siendo no exacta. ### Conclusión La ecuación no se vuelve exacta con los factores integrantes probados. Se recomienda buscar un factor integrante que dependa de \( y \) o \( x \) que simplifique la ecuación. En este caso, se puede intentar con otros métodos o factores integrantes hasta encontrar uno adecuado.