2. Resuelva la ecuación diferencial no exacta, encontrando un factor integrante adecuado. $$ \cos x d x+\left(1+\frac{2}{y}\right) \operatorname{sen} x d y=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la ecuación diferencial no exacta dada:

$$
\cos x \, dx + \left(1 + \frac{2}{y}\right) \sin x \, dy = 0
$$

primero identificamos las funciones $$ M(x, y) $$ y $$ N(x, y) $$:

- $$ M(x, y) = \cos x $$
- $$ N(x, y) = \left(1 + \frac{2}{y}\right) \sin x $$

A continuación, verificamos si la ecuación es exacta calculando las derivadas parciales:

1. $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 0 $$
2. $$ \frac{\partial N}{\partial x} = \left(1 + \frac{2}{y}\right) \cos x $$

Dado que $$ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $$, la ecuación no es exacta. Para encontrar un factor integrante, buscamos un factor que dependa solo de $$ y $$ o solo de $$ x $$.

### Paso 1: Factor integrante que depende de $$ y $$

Usamos la fórmula para un factor integrante que depende de $$ y $$:

$$
\mu(y) = e^{\int \frac{M_y - N_x}{N} \, dy}
$$

donde:

- $$ M_y = 0 $$
- $$ N_x = \left(1 + \frac{2}{y}\right) \cos x $$

Calculamos $$ M_y - N_x $$:

$$
M_y - N_x = 0 - \left(1 + \frac{2}{y}\right) \cos x = -\left(1 + \frac{2}{y}\right) \cos x
$$

Ahora, calculamos $$ \frac{M_y - N_x}{N} $$:

$$
\frac{M_y - N_x}{N} = \frac{-\left(1 + \frac{2}{y}\right) \cos x}{\left(1 + \frac{2}{y}\right) \sin x} = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\cot x
$$

### Paso 2: Integrar para encontrar el factor integrante

Ahora integramos:

$$
\mu(y) = e^{\int -\cot x \, dy} = e^{-y \cot x}
$$

Sin embargo, este enfoque no es correcto, ya que el factor integrante debe ser una función de $$ y $$ que simplifique la ecuación. En este caso, probamos con un factor integrante que depende de $$ y $$:

$$
\mu(y) = y^2
$$

### Paso 3: Multiplicar la ecuación por el factor integrante

Multiplicamos toda la ecuación por $$ y^2 $$:

$$
y^2 \cos x \, dx + y^2 \left(1 + \frac{2}{y}\right) \sin x \, dy = 0
$$

Esto se simplifica a:

$$
y^2 \cos x \, dx + (y^2 + 2y) \sin x \, dy = 0
$$

### Paso 4: Verificar si es exacta

Ahora, definimos:

- $$ M(x, y) = y^2 \cos x $$
- $$ N(x, y) = (y^2 + 2y) \sin x $$

Calculamos las derivadas parciales:

1. $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 2y \cos x $$
2. $$ \frac{\partial N}{\partial x} = (y^2 + 2y) \cos x $$

Dado que $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 2y \cos x $$ y $$ \frac{\partial N}{\partial x} = (y^2 + 2y) \cos x $$, la ecuación sigue siendo no exacta.

### Paso 5: Encontrar un nuevo factor integrante

Probamos con un factor integrante que depende de $$ x $$:

$$
\mu(x) = \frac{1}{\cos x}
$$

Multiplicamos la ecuación original por $$ \frac{1}{\cos x} $$:

$$
dx + \left(1 + \frac{2}{y}\right) \tan x \, dy = 0
$$

### Paso 6: Verificar si es exacta

Definimos:

- $$ M(x, y) = 1 $$
- $$ N(x, y) = \left(1 + \frac{2}{y}\right) \tan x $$

Calculamos las derivadas parciales:

1. $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 0 $$
2. $$ \frac{\partial N}{\partial x} = \left(1 + \frac{2}{y}\right) \sec^2 x $$

Dado que $$ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $$, la ecuación sigue siendo no exacta.

### Conclusión

La ecuación no se vuelve exacta con los factores integrantes probados. Se recomienda buscar un factor integrante que dependa de $$ y $$ o $$ x $$ que simplifique la ecuación. En este caso, se puede intentar con otros métodos o factores integrantes hasta encontrar uno adecuado.
Para resolver la ecuación diferencial no exacta: $$ \cos x \, dx + \left(1 + \frac{2}{y}\right) \sin x \, dy = 0 $$ se busca un factor integrante que la haga exacta. Prueba con factores integrantes que dependen de $$ y $$ y $$ x $$, pero no se encuentra uno que la haga exacta. Se recomienda usar otros métodos para resolver la ecuación. simplify answer: No se encontró un factor integrante que haga la ecuación exacta. Se recomienda usar otros métodos para resolverla.

2. Resuelva la ecuación diferencial no exacta, encontrando un factor integrante adecuado. \[ \cos x d x+\left(1+\frac{2}{y}\right) \operatorname{sen} x d y=0 \]

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