20. Der Graph einer Exponentialfunktion mit \( y=b^{x} \) geht durch den Punkt \( P \). Bestimme die Basis b wie im Beispiel. a) \( P(2 \mid 25) \) d) \( P(-3 \mid 0,125) \) g) \( P(3 \mid 0,343) \) b) \( P(-1 \mid 0,25) \) e) \( P(-4 \mid 0,25) \) h) \( P(-4 \mid 256) \) \[ \begin{array}{l} \mathrm{P}\left(\left.\frac{3}{2} \right\rvert\, 8\right) \\ \mathrm{b}^{\frac{3}{2}}=8 \quad(1)^{\frac{2}{3}} \\ \mathrm{~b}=8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{2}} \\ \mathrm{~b}=4 \end{array} \] c) \( P\left(\frac{1}{2} \left\lvert\, \frac{1}{2} \sqrt{2}\right.\right) \) f) \( P(-1 \mid 6) \) i) \( P\left(-0,5 \left\lvert\, \frac{1}{3}\right.\right) \) 21. Kann man in Übungsaufgabe 20 an den Koordinaten von \( P \) erkennen, ob die Basis \( b \) größer oder kleiner als 1 ist? Formuliere eine Regel. Begründe sie.

Um die Basis \( b \) der Exponentialfunktion \( y = b^x \) zu bestimmen, wenn der Graph durch den Punkt \( P(x \mid y) \) geht, setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein. Das bedeutet, dass wir die Gleichung \( y = b^x \) umstellen, um \( b \) zu isolieren. ### Schritt-für-Schritt-Lösung 1. **Allgemeine Gleichung aufstellen:** \[ y = b^x \] Setze die Koordinaten des Punktes \( P(x, y) \) ein: \[ y = b^x \implies b = y^{\frac{1}{x}} \] 2. **Berechnung für die einzelnen Punkte:** a) \( P(2 \mid 25) \): \[ b = 25^{\frac{1}{2}} = 5 \] b) \( P(-1 \mid 0,25) \): \[ b = 0,25^{-1} = 4 \] c) \( P\left(\frac{1}{2} \mid \frac{1}{2} \sqrt{2}\right) \): \[ b = \left(\frac{1}{2} \sqrt{2}\right)^{\frac{2}{1}} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \] d) \( P(-3 \mid 0,125) \): \[ b = 0,125^{-3} = 8 \] e) \( P(-4 \mid 0,25) \): \[ b = 0,25^{-4} = 16 \] f) \( P(-1 \mid 6) \): \[ b = 6^{-1} = \frac{1}{6} \] g) \( P(3 \mid 0,343) \): \[ b = 0,343^{\frac{1}{3}} = 7 \] h) \( P(-4 \mid 256) \): \[ b = 256^{-4} = \frac{1}{256^4} \quad \text{(sehr klein)} \] i) \( P\left(-0,5 \mid \frac{1}{3}\right) \): \[ b = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9 \] ### Zusammenfassung der Ergebnisse: - a) \( b = 5 \) - b) \( b = 4 \) - c) \( b = 1 \) - d) \( b = 8 \) - e) \( b = 16 \) - f) \( b = \frac{1}{6} \) - g) \( b = 7 \) - h) \( b = \frac{1}{256^4} \) - i) \( b = 9 \) ### Regel zur Bestimmung der Basis \( b \): - **Wenn \( y > 1 \) und \( x > 0 \), dann ist \( b > 1 \).** - **Wenn \( y < 1 \) und \( x < 0 \), dann ist \( b > 1 \).** - **Wenn \( y < 1 \) und \( x > 0 \), dann ist \( b < 1 \).** - **Wenn \( y > 1 \) und \( x < 0 \), dann ist \( b < 1 \).** ### Begründung: Die Basis \( b \) bestimmt das Wachstum oder den Zerfall der Exponentialfunktion. Ist \( b > 1 \), wächst die Funktion, und die Werte von \( y \) steigen mit zunehmendem \( x \). Ist \( b < 1 \), fällt die Funktion, und die Werte von \( y \) sinken mit zunehmendem \( x \). Daher kann man aus den Koordinaten des Punktes \( P \) ableiten, ob \( b \) größer oder kleiner als 1 ist.