20. Der Graph einer Exponentialfunktion mit $$ y=b^{x} $$ geht durch den Punkt $$ P $$. Bestimme die Basis b wie im Beispiel. a) $$ P(2 \mid 25) $$ d) $$ P(-3 \mid 0,125) $$ g) $$ P(3 \mid 0,343) $$ b) $$ P(-1 \mid 0,25) $$ e) $$ P(-4 \mid 0,25) $$ h) $$ P(-4 \mid 256) $$ $$ \begin{array}{l} \mathrm{P}\left(\left.\frac{3}{2} \right\rvert\, 8\right) \ \mathrm{b}^{\frac{3}{2}}=8 \quad(1)^{\frac{2}{3}} \ \mathrm{~b}=8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{2}} \ \mathrm{~b}=4 \end{array} $$ c) $$ P\left(\frac{1}{2} \left\lvert\, \frac{1}{2} \sqrt{2}\right.\right) $$ f) $$ P(-1 \mid 6) $$ i) $$ P\left(-0,5 \left\lvert\, \frac{1}{3}\right.\right) $$ 21. Kann man in Übungsaufgabe 20 an den Koordinaten von $$ P $$ erkennen, ob die Basis $$ b $$ größer oder kleiner als 1 ist? Formuliere eine Regel. Begründe sie.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Um die Basis $$ b $$ der Exponentialfunktion $$ y = b^x $$ zu bestimmen, wenn der Graph durch den Punkt $$ P(x \mid y) $$ geht, setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein. Das bedeutet, dass wir die Gleichung $$ y = b^x $$ umstellen, um $$ b $$ zu isolieren. ### Schritt-für-Schritt-Lösung 1. **Allgemeine Gleichung aufstellen:** $$ y = b^x $$ Setze die Koordinaten des Punktes $$ P(x, y) $$ ein: $$ y = b^x \implies b = y^{\frac{1}{x}} $$ 2. **Berechnung für die einzelnen Punkte:** a) $$ P(2 \mid 25) $$: $$ b = 25^{\frac{1}{2}} = 5 $$ b) $$ P(-1 \mid 0,25) $$: $$ b = 0,25^{-1} = 4 $$ c) $$ P\left(\frac{1}{2} \mid \frac{1}{2} \sqrt{2}\right) $$: $$ b = \left(\frac{1}{2} \sqrt{2}\right)^{\frac{2}{1}} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $$ d) $$ P(-3 \mid 0,125) $$: $$ b = 0,125^{-3} = 8 $$ e) $$ P(-4 \mid 0,25) $$: $$ b = 0,25^{-4} = 16 $$ f) $$ P(-1 \mid 6) $$: $$ b = 6^{-1} = \frac{1}{6} $$ g) $$ P(3 \mid 0,343) $$: $$ b = 0,343^{\frac{1}{3}} = 7 $$ h) $$ P(-4 \mid 256) $$: $$ b = 256^{-4} = \frac{1}{256^4} \quad \text{(sehr klein)} $$ i) $$ P\left(-0,5 \mid \frac{1}{3}\right) $$: $$ b = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9 $$ ### Zusammenfassung der Ergebnisse: - a) $$ b = 5 $$ - b) $$ b = 4 $$ - c) $$ b = 1 $$ - d) $$ b = 8 $$ - e) $$ b = 16 $$ - f) $$ b = \frac{1}{6} $$ - g) $$ b = 7 $$ - h) $$ b = \frac{1}{256^4} $$ - i) $$ b = 9 $$ ### Regel zur Bestimmung der Basis $$ b $$: - **Wenn $$ y > 1 $$ und $$ x > 0 $$, dann ist $$ b > 1 $$.** - **Wenn $$ y < 1 $$ und $$ x < 0 $$, dann ist $$ b > 1 $$.** - **Wenn $$ y < 1 $$ und $$ x > 0 $$, dann ist $$ b < 1 $$.** - **Wenn $$ y > 1 $$ und $$ x < 0 $$, dann ist $$ b < 1 $$.** ### Begründung: Die Basis $$ b $$ bestimmt das Wachstum oder den Zerfall der Exponentialfunktion. Ist $$ b > 1 $$, wächst die Funktion, und die Werte von $$ y $$ steigen mit zunehmendem $$ x $$. Ist $$ b < 1 $$, fällt die Funktion, und die Werte von $$ y $$ sinken mit zunehmendem $$ x $$. Daher kann man aus den Koordinaten des Punktes $$ P $$ ableiten, ob $$ b $$ größer oder kleiner als 1 ist. To find the base $$ b $$ of the exponential function $$ y = b^x $$ that passes through a given point $$ P(x \mid y) $$, use the formula: $$ b = y^{\frac{1}{x}} $$ Calculate $$ b $$ for each point: - **a) $$ P(2 \mid 25) $$:** $$ b = 25^{\frac{1}{2}} = 5 $$ - **b) $$ P(-1 \mid 0,25) $$:** $$ b = 0,25^{-1} = 4 $$ - **c) $$ P\left(\frac{1}{2} \mid \frac{1}{2} \sqrt{2}\right) $$:** $$ b = 1 $$ - **d) $$ P(-3 \mid 0,125) $$:** $$ b = 0,125^{-3} = 8 $$ - **e) $$ P(-4 \mid 0,25) $$:** $$ b = 0,25^{-4} = 16 $$ - **f) $$ P(-1 \mid 6) $$:** $$ b = 6^{-1} = \frac{1}{6} $$ - **g) $$ P(3 \mid 0,343) $$:** $$ b = 0,343^{\frac{1}{3}} = 7 $$ - **h) $$ P(-4 \mid 256) $$:** $$ b = 256^{-4} = \frac{1}{256^4} $$ - **i) $$ P\left(-0,5 \mid \frac{1}{3}\right) $$:** $$ b = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9 $$ **Rule to Determine $$ b $$:** - If $$ y > 1 $$ and $$ x > 0 $$, then $$ b > 1 $$. - If $$ y < 1 $$ and $$ x < 0 $$, then $$ b > 1 $$. - If $$ y < 1 $$ and $$ x > 0 $$, then $$ b < 1 $$. - If $$ y > 1 $$ and $$ x < 0 $$, then $$ b < 1 $$. This rule helps identify whether the base $$ b $$ is greater than or less than 1 based on the position of the point $$ P $$ in the coordinate plane.

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