Dado el campo vectorial \( \vec{F}=(2 y-z) \boldsymbol{i}+(3 x+1) \boldsymbol{j}+(x y) \boldsymbol{k} \) ¿cuál es el rotacional \( \nabla \times F ? \) \( \begin{array}{l}O(x) \mathbf{i}-(y+1) \mathbf{j}+(1) \mathbf{k} \\ O(2 y) \mathbf{i}-(3) \mathbf{j}+(1) \mathbf{k} \\ O(x) \mathbf{i}-(y-1) \mathbf{j}+(1) \mathbf{k}\end{array} \)

Para calcular el rotacional \(\nabla \times \vec{F}\), primero utilizamos la fórmula del rotacional en coordenadas cartesianas: \[ \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2y - z & 3x + 1 & xy \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante y obtenemos: \[ = \left( \frac{\partial (xy)}{\partial y} - \frac{\partial (3x + 1)}{\partial z} \right) \mathbf{i} - \left( \frac{\partial (xy)}{\partial x} - \frac{\partial (2y - z)}{\partial z} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial (3x + 1)}{\partial x} - \frac{\partial (2y - z)}{\partial y} \right) \mathbf{k} \] Calculando cada término: - Para \(\mathbf{i}\): \(\frac{\partial (xy)}{\partial y} = x\) y \(\frac{\partial (3x + 1)}{\partial z} = 0 \Rightarrow x - 0 = x\) - Para \(\mathbf{j}\): \(\frac{\partial (xy)}{\partial x} = y\) y \(\frac{\partial (2y - z)}{\partial z} = -1 \Rightarrow y - (-1) = y + 1\) - Para \(\mathbf{k}\): \(\frac{\partial (3x + 1)}{\partial x} = 3\) y \(\frac{\partial (2y - z)}{\partial y} = 2 \Rightarrow 3 - 2 = 1\) Finalmente, combinando los resultados: \[ \nabla \times \vec{F} = x \mathbf{i} - (y + 1) \mathbf{j} + 1 \mathbf{k} \] Esto significa que la respuesta correcta es: \[ O(x) \mathbf{i} - (y + 1) \mathbf{j} + (1) \mathbf{k} \]