Dada la cónica con ecuación \( -3 \cdot x \cdot y+2 \cdot x+y^{2}+2 \cdot y-12=0 \) determinar la recta tangente y la el punto \( (-1,2) \) escribe lo que se te pide en cada caso: \( \frac{d y}{d x}=\square \) \( \left.\frac{d y}{d x}\right|_{(-1,2)}=\square \) Escribe la recta tangente y normal en forma pendiente ordenada (es decir de la forma \( y=m \cdot x+b \) los espacios correspondientes: recta tangente: recta normal:

Soit la conique donnée par \[ -3xy+2x+y^{2}+2y-12=0. \] **1. Dérivation implicite** On différencie l'équation par rapport à \( x \) : \[ \frac{d}{dx}(-3xy)+\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(y^{2})+\frac{d}{dx}(2y)-\frac{d}{dx}(12)=0. \] Pour le terme \( -3xy \) : \[ \frac{d}{dx}(-3xy) = -3\left(x\frac{dy}{dx}+y\right). \] Pour \( 2x \) : \[ \frac{d}{dx}(2x)=2. \] Pour \( y^2 \) : \[ \frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y\frac{dy}{dx}. \] Pour \( 2y \) : \[ \frac{d}{dx}(2y)=2\frac{dy}{dx}. \] Ainsi, l’équation dérivée devient : \[ -3\left(x\frac{dy}{dx}+y\right)+2+2y\frac{dy}{dx}+2\frac{dy}{dx}=0. \] Regroupons les termes en \(\frac{dy}{dx}\) et les autres termes : \[ (-3x+2y+2)\frac{dy}{dx} - 3y + 2=0. \] On isole \(\frac{dy}{dx}\) : \[ (-3x+2y+2)\frac{dy}{dx}= 3y-2, \] donc \[ \frac{dy}{dx}=\frac{3y-2}{-3x+2y+2}. \] Nous pouvons donc inscrire dans le premier espace : \[ \frac{dy}{dx}=\frac{3y-2}{-3x+2y+2}. \] **2. Évaluation en \((-1,2)\)** On remplace \( x=-1 \) et \( y=2 \) : - Numérateur : \( 3(2)-2 = 6-2=4 \). - Dénominateur : \( -3(-1)+2(2)+2= 3+4+2=9 \). Ainsi, \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(-1,2)}=\frac{4}{9}. \] On inscrit dans le second espace : \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(-1,2)}=\frac{4}{9}. \] **3. Écriture de la tangente et de la normale** - **Tangente :** La tangente au point \((-1,2)\) a pour pente \( m=\frac{4}{9} \). On utilise la forme point-pente : \[ y-2=\frac{4}{9}(x+1). \] Pour obtenir la forme \( y=m\cdot x+b \), développons : \[ y= \frac{4}{9}x+\frac{4}{9}+2 = \frac{4}{9}x+\frac{4+18}{9}=\frac{4}{9}x+\frac{22}{9}. \] On inscrit donc : recta tangente: \( y=\frac{4}{9}x+\frac{22}{9} \). - **Normale :** La normale est perpendiculaire à la tangente, sa pente est l'opposée de l'inverse de la pente de la tangente : \[ m_{\text{normale}}=-\frac{1}{\frac{4}{9}}=-\frac{9}{4}. \] Utilisons la forme point-pente : \[ y-2=-\frac{9}{4}(x+1). \] Exprimer en forme \( y=m\cdot x+b \) : \[ y=-\frac{9}{4}x-\frac{9}{4}+2=-\frac{9}{4}x-\frac{9}{4}+\frac{8}{4}=-\frac{9}{4}x-\frac{1}{4}. \] On inscrit donc : recta normal: \( y=-\frac{9}{4}x-\frac{1}{4} \).