Dada la curva con ecuación \( 4 \cdot x^{2}+x-y^{2}+y-3=0 \) determinar la recta tangente y la recta norm \( (-1,1) \) escribe lo que se te pide en cada caso: \( \frac{d y}{d x}=\square \) Escribe el resultado de la derivada anterior de manera implicita. \( \left.\frac{d y}{d x}\right|_{(-1,1)}=\square \) Escribe la recta tangente y normal en forma pendiente ordenada (es decir de la forma \( y=m \cdot x+b \) ) los espacios correspondientes: recta tangente: recta normal:

Soit la courbe d'équation \[ 4x^2 + x - y^2 + y - 3 = 0. \] 1. Pour trouver \(\frac{dy}{dx}\), on dérive implicitement par rapport à \(x\) : \[ \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(y) - \frac{d}{dx}(3)=0. \] Ce qui donne : \[ 8x + 1 - 2y\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 0. \] On regroupe les termes en \(\frac{dy}{dx}\) : \[ 8x + 1 + \frac{dy}{dx}(1 - 2y) = 0. \] D'où : \[ \frac{dy}{dx}(1-2y) = - (8x+1), \] et donc, \[ \frac{dy}{dx}=\frac{-(8x+1)}{1-2y}. \] 2. L'expression de la dérivée de manière implicite est : \[ \boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{-(8x+1)}{1-2y}}. \] 3. Pour le point \( (-1,1) \), on calcule : \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(-1,1)} = \frac{-\bigl(8\cdot (-1)+1\bigr)}{1-2\cdot 1} = \frac{-(-8+1)}{-1} = \frac{-(-7)}{-1} = \frac{7}{-1} = -7. \] On a donc : \[ \boxed{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(-1,1)}=-7}. \] 4. La tangente passant par \( (-1,1) \) a pour pente \( m_t=-7 \). La forme point-pente donne : \[ y - 1 = -7(x+1). \] On écrit la droite tangente en forme « pente–ordonnée à l'origine » : \[ y = -7x - 7 + 1 = -7x - 6. \] Ainsi, la droite tangente est : \[ \boxed{y=-7x-6}. \] 5. La normale étant perpendiculaire à la tangente, sa pente \( m_n \) est l'inverse opposé de \( m_t \) : \[ m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-7} = \frac{1}{7}. \] La droite normale passant par \( (-1,1) \) est : \[ y - 1 = \frac{1}{7}(x+1). \] On la met en forme \( y = m \cdot x + b \) : \[ y = \frac{1}{7}x + \frac{1}{7} + 1 = \frac{1}{7}x + \frac{8}{7}. \] Ainsi, la droite normale est : \[ \boxed{y=\frac{1}{7}x+\frac{8}{7}}. \]